每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。而这个因数一定是一个质数。
定义
质因数（或
质因子）在
数论里是指能整除给定正
整数的
质数。
两个没有共同质因子的正整数称为互质。因
为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。
正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。
例子
- 1没有质因子。
- 5只有1个质因子，5本身。（5是质数。）
- 6的质因子是2和3。(6 = 2 × 3)
- 2、4、8、16等只有1个质因子：2（2是质数，4 = 2，8 = 2，如此类推。）
- 10有2个质因子：2和5。(10 = 2 × 5)
就是一个数的
约数，并且是
质数，比如8=2×2×2，2就是8的质因数。12=2×2×3，2和3就是12的质因数。把一个式子以12=2×2×3的形式表示，叫做
分解质因数。16=2×2×2×2,2就是16的质因数，
把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，这也是分解质因数。
[1]
分解质因数的方法是先用一个合数的最小质因数去除这个合数，得出的数若是一个质数，就写成这个合数相乘形式；若是一个合数就继续按原来的方法，直至最后是一个质数 。
分解质因数的有两种表示方法，除了大家最常用知道的“短除分解法”之外，还有一种方法就是“塔形分解法”。
计算方法
短除法
求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式的叫短除法，和除法的性质差不多，还可以用来求多个个数的公因式：
求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。
例如：求12与18的最大公因数。
12的因数有：1、2、3、4、6、12。
18的因数有：1、2、3、6、9、18。
12与18的最大公因数是6。
这种方法对求两个以上数的最大公因数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。
12=2×2×3
18=2×3×3
12与18都可以分成几种形式不同的乘积，但分成质因数连乘积就只有以上一种，而且不能再分解了。所分出的质因数无疑都能
整除原数，因此这些质因数也都是原数的约数。从分解的结果看，12与18都有
公约数2和3，而它们的乘积2×3=6，就是 12与18的最大公约数。
采用分解质因数的方法，也是采用短除的形式，只不过是分别短除，然后再找
公约数和最大公约数。如果把这两个数合在一起短除，则更容易找出
公约数和最大公约数。
从短除中不难看出，12与18都有
公约数2和3，它们的乘积2×3=6就是12与18的最大公约数。与前边分别分解质因数相比较，可以发现：不仅结果相同，而且
短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数，而两个数的最大公约数，就是这两个数的公共质因数的连乘积。
实际应用中，是把需要计算的两个或多个数放置在一起，进行短除。
在计算多个数的最小公倍数时，对其中任意两个数存在的约数都要算出，其它无此约数的数则原样落下。最后把所有约数和最终剩下无法
约分的数连乘即得到最小公倍数。
（短除法详解：
短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写
除数的地方写两个数共有的
质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果
互质为止（两个数互质）。
而在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是
互质关系。
求最大公因数遍乘一边，求最小公倍数遍乘一圈。
（
公约数：亦称“公
因数”。是几个整数同时均能整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；公约数中最大的称为最大公约数。）
在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。求最大公约数遍乘左边所有数公共的因数，求最小公倍数遍乘一圈。这种方法对求两个以上数的最大公因数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法
）
Pollard Rho因数分解
1975年，John M. Pollard提出了第二种因数分解的方法，Pollard Rho快速因数分解。该算法时间复杂度为O（n^(1/4)）。
分解质因数代码：
将一个正整数分解质因数。例如：输入90,打印出90=2*3*3*5。
程序分析：对n进行分解质因数，应先找到一个最小的质数k，然后按下述步骤完成：
(1)如果这个质数恰等于n，则说明分解质因数的过程已经结束，打印出即可。
(2)如果n<>k，但n能被k整除，则应打印出k的值，并用n除以k的商,作为新的正整数你n,
重复执行第一步。
(3)如果n不能被k整除，则用k+1作为k的值,重复执行第一步。
06 |
printf("nplease input a number:n"); |
另一种形式：
02 |
Integer[] decPrime(int n) { |
03 |
List<Integer> list = new ArrayList<Integer>(); |
04 |
for (int i=2;i
<= n;i++){ |
10 |
list.add(Integer.valueOf(i)); |
14 |
list.add(Integer.valueOf(n)); |
15 |
return list.toArray(new Integer[list.size()]); |
另外代码：
。我们用所有正整数试验一下，从2开始进行试除，逐步增加除数的值，去寻找一个可以整除n的数。在Eratosthenes筛法的讨论中，我们知道如果n是一个复合数，那么它就会有一个素数
。算法9.3所示的就是这种方法的伪代码。这个算法有两个偱环路径，外部的和内部的。外部循环求唯一因数，内部循环求一个因数的多个复本。例如，
，外部循环求出因数2和3。内部循环求出2是一个多因数。
01 |
void trial_divisio_fac(int n) |
上面的代码解释比较清楚。为什么这种方法可以得到素数。
因为我们在内层循环中，已经把当前a的所有倍数都去除了。这跟埃斯托尼算法是一样的。
复杂度 如果
，这种情况下试除法通常都是很有效的。但是如果用来分解更大的整数，试除法就变得非常低效甚至不可用了。这种算法的复杂度是随着n的增加呈指数级别增长的。
（
试除法是整数分解算法中最简单和最容易理解的算法。
给定一个合数n（这里，n是待分解的整数），试除法看成是用小于等于
的每个素数去试除待分解的整数。如果找到一个数能够整除除尽，这个数就是待分解整数的因子。
).
例9.29
运用试除算法求1233的因数。
1233=3^2*137.
转自：http://www.cnblogs.com/youxin/p/3232049.html
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