一、EWMA模型

指数移动平均(Exponential Moving Average, EMA或EWMA)是以指数式递减加权的移动平均。各数值的加权而随时间而指数式递减，越近期的数据加权越重，但较旧的数据也给予一定的加权。加权的程度以常数λ决定，λ数值介乎0至1。该模型认为第n天的波动率与n-1天的波动率和收益率有关系：

【案例】我们依旧使用上证指数2015.1.1-2020.3.31日的收盘价数据；根据前一天的波动率和收益率数据来预测下一天的波动率。使用2015.1.1-2019.21.31的数据，在后续每天收益率变动的情况下，一步一步滚动预测2020.1.1-2020.3.31的波动率。

import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltfrom pylab import mplmpl.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']mpl.rcParams['axes.unicode_minus']=FalseSH=pd.read_excel('D:/欧晨的金学智库/风险管理基础/上证指数.xlsx','Sheet1',header=0,index_col=0)SH.describe()SH_log=np.log(SH/SH.shift(1))  #得到上证指数的2015~2020.3.31日收益率SH_log=SH_log.dropna()#绘制上证指数收盘价及对数收益率plt.subplot(211)plt.plot(SH, label=u'上证指数收盘价')plt.legend(loc='best')plt.subplot(212)plt.plot(SH_log, label=u'上证指数收盘价收益率')plt.legend(loc='best')plt.show()

#EWMA，λ=0.94u60=SH_log[-59:]  #2019.12.31-2020.3.31对数收益率vol_ewma=np.zeros(58)vol_ewma[0]=np.array(SH_log)[:-58].std() #2019.12.31日之前的数据计算波动率作为2019.12.31日波动率for i in range(57):    vol_ewma[i+1]=np.sqrt(0.06*np.array(u60)[i]**2+0.94*vol_ewma[i]**2)  #λ=0.94print('ewma方法预测2020.1.1-2020.3.31波动率','n',vol_ewma)

二、ARCH模型

    定义σ_n是在第n-1个交易日估计资产在第n个交易日的波动率，那么可以根据最近m个交易日的收益率进行无偏估计：

其中，μ为日对数日收益率的平均值。下面做如下变化：

①将μ_n-i换成百分比收益率；

②将m-1换成m；

③假设μ=0。

这些变化对结果影响不大，上式可以简化为

也就是说每一天的波动率的平方具有等权重1/m，由于是估计当前的波动率，距离近的数据应该赋予更高权重，则模型可以更改为

α_i是第i天的收益率平方的系数，取正值且i越小值越大，权重之和为1。进一步推广，假定存在一个长期的方差率V_L，且对应的权重为γ，上式就变为

令ω=γV_L，上式可以改写为

以上就是ARCH(m)模型。

同样采用上述案例，我们用PYTHON进行计算：

conda install -c bashtage arch  #安装ARCH，GARCH时间序列库，如已安装跳过(注释掉)该步骤from arch import arch_model#建立ARCH(1)模型arch=arch_model(y=SH_log,mean='Constant',lags=0,vol='ARCH',p=1,o=0,q=0,dist='normal')#vol参数可选波动率模型的类型，除了ARCH、GARCH外还有EGARCH、FIARCH、HARCH等archmodel=arch.fit()archmodel.summary()

可以得到以下表达式：

archmodel.plot()

#ARCH(1)vol_arch=np.zeros(58)u60=SH_log[-59:]  #2019.12.31-2020.3.31对数收益率vol_arch[0]=np.sqrt(0.0000895+0.4*-np.array(u60)[-59]**2)  #以2019.12.31对数收益率为基数往后1天，1天预测波动率for i in range(57):    vol_arch[i+1]=np.sqrt(0.00013894+0.4*np.array(u60)[i]**2)print('ARCH方法预测2020.1.1-2020.3.31波动率','n',vol_arch)

三、GARCH模型

    GARCH(1,1)模型是ARCH(1)和EWMA模型的结合，其中α+β+γ=1：

α+β表示均值复归的速度，当γ越大或α+β越小时，均值复归的速度越快。在实际操作中，GARCH(1,1)模型的预测效果较好。

同样采用上述案例，我们用PYTHON进行计算：

#建立GARCH(1,1)模型garch=arch_model(y=SH_log,mean='Constant',lags=0,vol='GARCH',p=1,o=0,q=1,dist='normal')garchmodel=garch.fit()garchmodel.summary()

可以得到以下表达式：

garchmodel.plot()

#GARCH(1,1)vol_garch=np.zeros(58)vol_garch[0]=np.array(SH_log)[:-58].std() #2019.12.31日之前的数据计算波动率作为2019.12.31日波动率for i in range(57):    vol_garch[i+1]=np.sqrt(0.0000046316+0.1*np.array(u60)[i]**2+0.88*vol_garch[i]**2)print('GARCH方法预测2020.1.1-2020.3.31波动率','n',vol_garch)

最后，我们绘制出三种预测模型的对比图：

#画出预测的三种模型对比的波动率预测图plt.figure(figsize=(15,5))plt.plot(SH_log[-58:].index,vol_arch,label='ARCH(1)')plt.plot(SH_log[-58:].index,vol_garch,label='GARCH(1,1)')plt.plot(SH_log[-58:].index,vol_ewma,label='EWMA')  plt.xticks(rotation=30)plt.legend()plt.grid()