先来个插曲。

很多人看到BBR不排队的特征后，第一想到的就是 不排队甚好，但稍微在缓存队列里堆点数据包也不错，不然怎么能赢了那些不守规矩的流呢？ 于是乎就出现了各类所谓的 BBR优化，无一例外地都是把Reno/CUBIC那一套算法的 精髓 照搬到BBR，于是BBR就被玩坏了！

我也干过这种事，后来我跟BBR的作者Neal Cardwell交流，他告诉我 这增加了算法的复杂性，并且破坏了BBR的根本。

…

我退出了 BBR优化队伍，我也不玩了，我潜下心希望能 从数学上证明BBR不排队就是最优的，只要排队就不行，一点队列也不行。本文写作前一天，我得了一些结论。记录这些结论并记录我是怎么想的，就是本文的主要内容。

温州皮鞋厂老板促使我开了场，让我第一次用数学来描述BBR算法。

先说一下我的思路，由于我自从中学开始就是一个深度的数形结合控，希望能把一切都画在一个坐标系里，然后无非就是找最高点，最低点，找规律这些了，所谓求极值，展示特征无非也就是那些惯用的方法， 求导，积分，数列展开这些，所以对于BBR算法，我依然循着这样的思路。

现在要做的，就是怎么把BBR的行为画在一个坐标系里。如果这一步做到了的话，我相信以我20年的经验顺水推舟事情就一定能成。

其实，BBR最初的slides和paper中，不断展示的图示是下面这个：

然后，我仔细观察了这两个坐标系，分别是BW(其实是Deliveryrate) vs Inflight以及RTT vs Inflight，都有Infligh。其实，这两张图是用于展示BBR特征的，它只说了What，并没有解释Why，实际上，难道Inflight不应该是 计算出来的 吗？如果说我能根据另一个坐标系的曲线进行一系列计算，最后 推导出Inflight的值必须是那个值才能达到某种最优的效果，那就解释了Why。

就是这个思路。让我们一步一步去做。

既然我们把Inflight当成了一个结果而不是原因，为了找这个原因，我们合并两个坐标系，消去公共的Inflight，那么我们就可以得到RTT vs BW的曲线了！

为了数学上表述的方便，后面统一一下符号：
BW：$w$
RTT：$t$
Inflight：$f$
临界的Inflight：$f_c$

下图是消去$f$的方法：
首先给出图像的方程表示：

$r = begin{cases} 1 & f le f_c \ f-f_c-1 & f>f_c end{cases}$

$w= begin{cases} dfrac{f}{f_c} & f le f_c \ 1 & f>f_c end{cases}$

很简单，方程组联立就可以消去变量$f$。

我们可以看到，最终$w$和$t$的取值范围就是那条开向第二象限的折线，现在的问题是，在这条折线中，$P(w,t)$在哪里是最优的，而此时的Inflight值就是最适合灌进网络中的数据包的数量，换句话说，它反映了Cwnd应该取什么值。

问题转化为了 如何度量所谓的最优 。

一般工业界和经济学领域都会采用 ***产出/成本***的比值来衡量一个系统是不是优秀，换句话说就是 最优的系统是用最少的代价换取最高的收益。对于我们目前的模型而言，用语言来表达，即 最少的时间传输最多的数据包。

因此，很显然，我给出下列的比值，最为衡量系统是否最优的度量：
$E=dfrac{w}{t}$

肉眼看得出来，$w$取最大值$w_{max}=1$

这确实说明了Inflight取值为临界的恰好要使得队列增加的
$f_c$

如果你将$P(w,t)$在允许的定义域值域稍微偏离$P_e$

1. 要么带宽没有用满，没有达到$w_{max}$
2. 要么带宽超额了，数据排队了，数据到达的太快，因此延迟增加了；

无论发生了上述的什么情况，显然都不是什么好事。

这算完成了任务吗？证明了BBR是最优的。看起来算是吧…

如果这样就算是一个BBR背后完备的数学模型，这篇文章一个多月前就能写出了。。。

我们发现，上面的推导基于一个明显的事实，即 用肉眼看，之所以可以用肉眼观测出最值，那是因为Yuchung Cheng和Neal Cardwell在描述BBR算法时，简化了模型，基于简化的模型，才给出了那两幅BW vs Inflight和RTT vs Inflight的坐标图示，在这两个图示中，所有的线均为直线。

所谓的简化模型，即假设数据包是间隔均匀匀速到达的，数据包也是匀速经过网络节点设备的。但是在实际上，这并不是事实，真实的情况画在坐标系里并不是直线，而是曲线，类似下面的样子：

此时如果我们依然要求解$E=dfrac{w}{t}$

怎么办？这件事让我搞了一个多月时间！

我能理解数据包的到达其实是柏松到达，被服务时间符合指数分布特征，但是我并没有就着这个思路思考下去(不然我一定能想到排队论)，而是希望能先有一个通用的解。

起初，我是反着求解，我假设传输时间$t$已经可以用带宽$w$来表示，即
$t=f(w)$

这便是最终的关系式，虽然我不知道$t$如何用$w$来表示，但这个关系是存在的，这是个普遍适用的关系。

我为得到这个关系式兴奋了一个周末，非常有成就感，虽然它现在看起来很简单，但在当时，这个想法真的显得来得太晚！

我是从初中开始就喜欢摆置坐标系的，一直到大学，几乎任何数学题，我都能采用数形结合的方案一题多解，某种程度上，我老婆就是当时我如此炫技