风险测度

风险价值（VaR）是最广泛使用的风险测度之一， 也是饱受争议的测度之一。从业人员喜欢其直观性． 但是许多人对其有限的尾部风险捕捉能力进行广泛的讨论和批评——主要是在理论依据上。从字面上讲， VaR 是一个以货币单位（如 美元、欧元、日元）表示的数字， 表示在给定时间周期中不超过某种置信度（概率）的损失（或者一个投资组合、股票头寸等）。

考虑一个当日价值为100万美元的股票头寸， 在30天（ 1个月）内、 置信度为99%的情况下 VaR 为 5 万美元。 这个 VaR 数字说明， 30天内损失不超过 5 万美元的概率为99% ( 100 个案例中有 99 个）。但是， 它并不说明一旦损失超过 5万美元， 损失的规模会达到什么程度——也就是如果最大损失为10万或者50万美元时， 这种特定的“高于 VaR 的损失” 概率有多大。它所说明的只是，发生 5万美元或者更大损失的概率为 1%。我们再次假定使 Black-Scholes-Merton 设置，考虑如下的参数化和未来日期 T=30/365（即假定 30 天的一段时期）指数水平的模拟：

import numpy as np
import numpy.random as random
import matplotlib.pyplot as plt

S0 = 100
r = 0.05
sigma = 0.25
T = 30 / 365.
I = 10000
ST = S0 * np.exp((r - 0.5 * sigma ** 2) * T + sigma * np.sqrt(T) * random.standard_normal(I))

为了估算VaR数字，需要模拟的绝对利润和相对于近日持仓价值的亏损，并加以排序，即从最严重的亏损到最大的利润：

R_gbm = np.sort(ST - S0)

下图展示了模拟绝对绩效的直方图：

plt.hist(R_gbm, bins=50)
plt.xlabel('absolute return')
plt.ylabel('frequency')
plt.grid(True)

有了包含排序结果的ndarray对象，scoreatpercentile函数已经取得了成功。我们所需要做的就是定义感兴趣的百分比（以百分数表示），在列表对象percs中，0.1转换为置信度100%-0.1%=99.9%。在本例中，置信度为99.9%的30日VaR为20.2货币单位， 而89%置信度下为8.9个货币单位

import scipy.stats as scs

percs = [0.01, 0.1, 1., 2.5, 5., 10.]
var = scs.scoreatpercentile(R_gbm, percs)
print("%16s %16s" % ('Confidence Level', 'Value-at-Risk'))
print(33 * '-')
for pair in zip(percs, var):
    print("%16.2f %16.3f" % (100 - pair[0], -pair[1]))

Confidence Level    Value-at-Risk
---------------------------------
           99.99           23.229
           99.90           19.679
           99.00           14.877
           97.50           12.792
           95.00           10.913
           90.00            8.509

作为第2个例子，回忆一下Merton的跳跃扩散，我们打算动态模拟：

# Meron的跳跃扩散 动态模拟
lamb = 0.75
mu = -0.6
delta = 0.25
M = 50
dt = 30. / 365 / M
rj = lamb * (np.exp(mu + 0.5 * delta ** 2) - 1)
S = np.zeros((M + 1, I))
S[0] = S0
# 为了模拟跳跃扩散,需要生成3组（独立）随机数：
sn1 = random.standard_normal((M + 1, I))
sn2 = random.standard_normal((M + 1, I))
poi = random.poisson(lamb * dt, (M + 1, I))
for t in range(1, M + 1, 1):
    S[t] = S[t - 1] * (np.exp((r - rj - 0.5 * sigma ** 2) * dt
                              + sigma * np.sqrt(dt) * sn1[t])
                       + (np.exp(mu + delta * sn2[t]) - 1)
                       * poi[t])
    S[t] = np.maximum(S[t], 0)

R_jd = np.sort(S[-1] - S0)

在这个例子中，利用均值为负数的跳跃成分，我们可以看到下图中类似二项分布的模拟利润/亏损。从正态分布的角度来看，在左侧有明显的“大尾巴”:

plt.hist(R_jd, bins=50)
plt.xlabel('value')
plt.ylabel('frequency')
plt.grid(True)

对于这种过程和参数化，置信度 90%的 30日VaR 相差很少，但是在 99.9%置信度下与几何布朗运动相比高出 3 倍多（ 79.703对22.079 货币单位）。

percs = [0.01, 0.1, 1., 2.5, 5., 10.]
var = scs.scoreatpercentile(R_jd, percs)
print("%16s %16s" % ('Confidence Level', 'Value-at-Risk'))
print(33 * '-')
for pair in zip(percs, var):
    print("%16.2f %16.3f" % (100 - pair[0], -pair[1]))

Confidence Level    Value-at-Risk
---------------------------------
           99.99           84.378
           99.90           72.652
           99.00           57.598
           97.50           46.390
           95.00           28.664
           90.00            9.067

这说明标准VaR测度在捕捉金融市场经常遇到的尾部风险方面的问题。

为了进一步说明这一点，我们最好以图形方式展示两种情况的VaR测度以便比较。如下图所示，在典型置信度范围内的VaR测度表现完全不同：

# 几何布朗运动和跳跃扩散的风险价值
percs = list(np.arange(0.0, 10.1, 0.1))
gbm_var = scs.scoreatpercentile(R_gbm, percs)
jd_var = scs.scoreatpercentile(R_jd, percs)

plt.plot(percs, gbm_var, 'b', lw=1.5, label='GBM')
plt.plot(percs, jd_var, 'r', lw=1.5, label='JD')
plt.legend(loc=4)
plt.xlabel('100 - confidence level [%]')
plt.ylabel('value-at-risk')
plt.grid(True)
plt.ylim(ymax=0.0)

(-88.7173879493488, 0.0)

几何布朗运动和跳跃扩散的风险价值

其他重要的风险测度是信用风险价值（CVaR）和从CVaR中派生而来的信用价值调整（CVA）。粗略地讲， CVaR 是对手方可能无法履行其义务所引发风险（例如， 对手方破产）的一个测度。在这种情况下， 有两个主要的假设：违约概率 和 （平均）损失水平。

举个具体的例子， 我们再次考虑Black-Scholes-Merton 的基准设置，使用如下参数：

S0 = 100.
r = 0.05
sigma = 0.2
T = 1.
I = 100000
ST = S0 * np.exp((r - 0.5 * sigma ** 2) * T + sigma * np.sqrt(T) * random.standard_normal(I))

在最简单的情况下，人们可以考虑固定（平均）损失水平L和对手方违约（每年）概率P：

# 固定（平均）损失水平
L = 0.5

# 对手方违约（每年）概率
p = 0.01

使用泊松分布，违约的方案可以用如下代码生成， 考虑了违约只能发生一次的事实：

D = random.poisson(p * T, I)
D = np.where(D > 1, 1, D)

如果没有违约，未来指数水平的风险中立价值应该等于资产当日现值（取决于数值误差造成的差异）：

np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum(ST)

100.02947673916002

在我们假定的条件下，CVaR可以这样计算：

CVaR = np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum(L * D * ST)
CVaR

0.47893908348836345

类似地，经过信用风险调整之后的资产现值可以这样计算：

S0_CVA = np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum((1 - L * D) * ST)
S0_CVA

99.55053765567163

这应该（大约）等于CVaR价值减去当前资产价值：

S0_adj = S0 - CVaR
S0_adj

99.52106091651163

在这个特殊的模拟示例中，我们观察到关于由于信用风险引起的大约1000次亏损，这是假定违约概率为1%、10万次模拟下预期的结果：

np.count_nonzero(L * D * ST)

955

下图展示了由于违约引起亏损的完整频率分布。当然，在大部分情况下（10万例中99000例），没有发现亏损：

plt.hist(L * D * ST, bins=50)
plt.xlabel('loss')
plt.ylabel('frequency')
plt.grid(True)
plt.ylim(ymax=175)


######由于风险中立预期违约引起的亏损（股票）#########

(0.0, 175)

现在考虑欧式看涨期权的情况。它在行权价100时的价值大约为10.4个货币单位：

K = 100  # 行权价100
hT = np.maximum(ST - K, 0)
C0 = np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum(hT)
C0

10.460723606533472

在相同的违约概率和损失水平假设下，CVaR大约为5分：

CVaR = np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum(L * D * hT)
CVaR

0.051251816444561775

相应的，调整后的期权价值大约低了5分：

C0_CVA = np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum((1 - L * D) * hT)
C0_CVA

10.409471790088908

和常规资产相比，期权有不同的特性。我们只看到略低于500次因违约引起的亏损，但是仍然有大约1000次违约。这一结果源于这样的事实：期权到期日时的收益为0的概率很大：

np.count_nonzero(L * D * hT)  # number of losses

537

np.count_nonzero(D)  # number of defaults

955

I - np.count_nonzero(hT)  # zero payoff

44000

下图说明，期权的CVaR和常规资产相比有着完全不同的频率分布:

plt.hist(L * D * hT, bins=50)
plt.xlabel('loos')
plt.ylabel('frequency')
plt.grid(True)
plt.ylim(ymax=350)

#######由于风险中立预期违约引起的亏损（看涨期权）########

(0.0, 350)