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有趣的编程。
有n个海盗,分k个金币。
分配原则:依次从第一个人到最后一个人提出分配方法,只有当超过半数的人同意时,方案生效。如果该人提出的方案不能生效,则该人会被扔到水里喂鱼。游戏只能玩一次。问:第一个人如何提出分配方案才能最大化自己的利益?
假设:1) 所有的海盗都很聪明,而且理智;
2) 人性本恶(如当只有两个人时,无论第一个人如何分配,即使第一个不要金币,第二个人都不同意第一个的分配方案,则第一个人必死。)
3) 每个海盗在获取自己最大利益时,会采用赌博心理,即最大化可能得到的金币数目
先从简单的问题分析: 假设金币有100个。
当n = 1时,所有金币都是第一个人的。
当n = 2时,第一个人0个金币,第二个人100个金币。(因为无论第一个人如何分配,只要第二个人不同意,则第一个人必死。)
当n = 3时,第一个人100个金币,第二个人0个金币,第三个人0个金币。(由于第二个人知道如果第一个人死了,则第二个人也必死,因此第二个人必须同意第一个人的分配方案。这件事情第一个人也是知道的,因此第一个人可以任意分配。)
当n = 4时,第一个人98个金币,第二个人0个金币,第三个人1个金币,第四个人1个金币。(第一个人知道如果自己死了,每个人金币的分配情况。因此第一个人不能拉拢第二个人,也拉拢不来。第一个人需要拉拢的是第三个人和第四个人,因此只要他们的金币优于当n = 3时的分配情况,第三个人和第四个人就会同意第一个人的分配方案。)
当n = 5时,第一个人97个金币,第二个人0个金币,第三个人1个金币,第四个人2个金币,第五个人0个金币。(或者第四个人0个金币,第五个人2个金币)(第一个人知道当n = 4时金币分配的情况,由于需要半数,因此需要拉拢2个人。首先第二个人肯定拉拢不过来,需要拉拢的是第三个人,给1个金币,第四个人给2个金币第5个人0个金币,或者第5个人给2个金币,第4个人0个金币。)
依次类推......
我们来看一下,当金币的数目为10的情况。
当n = 1时,所有金币都是第一个人的。
当n = 2时,第一个人0个金币,第二个人10个金币。
当n = 3时,第一个人10个金币,第二个人0个金币,第三个人0个金币。
当n = 4时,第一个人8个金币,第二个人0个金币,第三个人1个金币,第四个人1个金币。
当n = 5时,第一个人7个金币,第二个人0个金币,第三个人1个金币,第四个人2个金币,第五个人0个金币。(当存在多种情况的时候,这里只讨论第一种可能的情况,但是这并不意味这后面的人不需要考虑了,后面会看到。)
当n = 6时,第一个人4个金币,第二个人0个金币,第三个人1个金币,第四个人2个金币,第五个人3个金币,第六个人0个金币。也可能是第五个人0个金币,第六个人3个金币。为什么第六个人是3个金币,因为从历史来看,当n =5时,第四个人或者第五个人都有可能是2个金币,因此如果想要拉拢这里的第五个人或者第六个人,只能出3个金币。
当n = 7时,第一个人4个金币,第二个人0个金币,第三个人1个金币,第四个人2个金币,第五个人3个金币,第六个人0个金币,第七个人0个金币。(这里第6、第7个人必定为0)
当n = 8时,第一个人5个金币,第二个人0个金币,第三个人1个金币,第四个人2个金币,第五个人0个金币,第六个人0个金币,第七个人1个金币,第八个人1个金币。
当n = 9时,第一个人5个金币,第二个人0个金币,第三个人1个金币,第四个人2个金币,第五个人0个金币,第六个人1个金币,第七个人1个金币,第八个人0个金币、第九0个金币(其中第4,第8,第9其中一个必为2个金币)。
结论:我们可以看到,在n个人中,第二个人是拉拢不来的,可以拉拢的是从第三个人开始往后的 个人,只要优于在n-1个人时的分配方案,第一个人的分配方案即可通过。这就是我们所说的“先手优势”。
但是“先手优势”会一直保存吗?如果人数很大,金币数目很少呢?
我们来举个特例,当 金币数目k = 1时,
当n = 1时, 第一个人1个金币。
当n = 2时,第一个人必死,第二个人1个金币。
当n = 3时,第一个人1个金币, 第二个人0个金币, 第三个人0个金币。
当n = 4时,第一个人必死,退化为n = 3。(因此如果拉拢第三,第四个人,需要2个金币,而金币数目只有1个,而且人性本恶,所以第一个人必死)。
当 n = 5时,情况又出现了转机。
总结:我们可以讨论在给定金币数目下,如果第一个人保持“先手优势”(定义“先手优势”:自己获取的利益大于其他所有人的和)时,最大的人数。这样就不会出现第一个必死的情况。
从上述实例问题分析可以看出,如果考虑边界条件很复杂,这里只考虑“保持先手”优势的情况。
具体的求解过程可以为:
前n = 1, 2, 3时边界条件。当n > 3时,可以这样认为:将n -1时刻的记录下来,先将每一个都 加1,然后对这个n -1个数进行从小到大排序,去前个人,然后比较低个人的值是否存在于后续的值,如果存在则将后续相同的值作为同等考虑的范围,如果不存在相同的值,则后续的金币数都置为0。然后对于第一个人的金币,通过记录第的金币数目以及与它相等的人数,通过总金币数目减去拉拢人所需要的数目,如果第一个人的金币数目小于0,则说明第一个人必死,此时返回n -1个人的策略。
说明:这里给出的是考虑第一个保持“先手优势”的情况。这里输出的不是可能的策略,输出的是当前策略中,拉拢半数人时可能的代价,但第一个人的金币数是正确的。
#!/usr/bin/env python
# _*_ coding:utf-8 _*_
def mySortDataIndex( dataList ):
sortedDataIndexList = []
sortedDataList = sorted( dataList.copy() )
for i in range(0, len(sortedDataList) ):
for j in range(0, len(sortedDataList)):
if( dataList[j] == sortedDataList[i] ):
sortedDataIndexList.append( j )
dataList[j] = -1
break
return sortedDataIndexList
def Policy(n, k):
if n == 1:
return [k]
elif n == 2:
return [0, k]
elif n == 3:
return [k, 0, 0]
else:
historyPolicyList = Policy(n - 1, k)
curPolicyList = []
curPolicyList.append(0)
tempPolicyList = []
for data in historyPolicyList:
tempPolicyList.append( data + 1 )
sortedIndex = mySortDataIndex( tempPolicyList.copy() )
#print( sortedIndex )
if n % 2 == 0:
half_n = int( n / 2 )
else:
half_n = int( (n - 1) / 2 )
curOutputIndexList = []
curOutputIndexList.append( 1 )
copyNumber = 0
copyValue = 0
for ii in range( half_n, len( sortedIndex ) ):
if( tempPolicyList[ sortedIndex[ii] ] == tempPolicyList[ sortedIndex[half_n - 1] ] ):
copyNumber += 1
copyValue = tempPolicyList[ sortedIndex[half_n - 1] ]
continue
else:
tempPolicyList[ sortedIndex[ii] ] = 0
temSum = 0
for ii in range(0, len(tempPolicyList) ):
temSum += tempPolicyList[ii]
curPolicyList.append( tempPolicyList[ii] )
temSum = temSum - copyNumber * copyValue
#if (k - temSum) < 0:
# return historyPolicyList
curPolicyList[0] = int(k - temSum)
if curPolicyList[0] <= temSum:
return historyPolicyList
return curPolicyList
def main(n=5, k=10):
policyList = Policy(n, k)
return policyList
if __name__ == "__main__":
k = 2
for n in range(1, 20, 1):
policyList = main(n, k)
print( "n = {}, k = {}".format( n, k ) )
for ii in range( len(policyList) ):
if(ii != len(policyList) - 1):
print("t {}".format(policyList[ii]), end="t")
else:
print("t {}".format( policyList[ii] ))
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