数学知识的运用
1）并非数学竞赛
2）进制问题及其巧妙运用
3）整数与整除问题
4）欧几里得扩展定理
5）有理数表示，大数问题

例1【奇怪的捐赠】

地产大亨Q先生临终的遗愿是：拿出100万元给X社区的居民抽奖，以稍慰藉心中愧疚。
麻烦的是，他有个很奇怪的要求：
1. 100万元必须被正好分成若干份（不能剩余）。
  每份必须是7的若干次方元。
  比如：1元, 7元，49元，343元，...
  
2. 相同金额的份数不能超过5份。

3. 在满足上述要求的情况下，分成的份数越多越好！

请你帮忙计算一下，最多可以分为多少份？

  public static void main(String[] args) {
        //进制问题，将十进制转换为七进制
        String s = Integer.toString(100*100,7);
        System.out.println(s);//41104
         int sum = 0;
         for(int i = 0;i < s.length();i++){
             sum+=s.charAt(i)-'0';
         }
        System.out.println(sum);//10
    }
}

例2【天平称重】 

用天平称重时，我们希望用尽可能少的砝码组合称出尽可能多的重量。
如果只有5个砝码，重量分别是1，3，9，27，81
则它们可以组合称出1到121之间任意整数重量（砝码允许放在左右两个盘中）。

本题目要求编程实现：对用户给定的重量，给出砝码组合方案。
例如：
用户输入：
5
程序输出：
9-3-1
用户输入：
19
程序输出：
27-9+1

要求程序输出的组合总是大数在前小数在后。
可以假设用户的输入的数字符合范围1~121。方法一（递归法）：当x>权重/2时，需要动用大一点的数来减去

public class Main {
   
    public static String f(int x){
        int a = 1;
        while(a<x)
            a = a*3;
        if(a == x) return ""+x;
        //用前一级来+
        else if (x <= a/2) return a/3 + "+" + f(x-a/3);
        else return a + "-" + reverse(f(a-x));
    }
    //正负变号
    public static String reverse(String s){
        s = s.replace('+','#');
        s = s.replace('-','+');
        s = s.replace('#','-');
        return  s;
    }

    public static void main(String[] args) {
        for(int i=1;i<50;i++){
           System.out.println(i+":"+f(i));
        }

    }
}

方法二（进制法）：

//天平称重，进制解法
public class Main {
    public static String f(int x){
        String s = "";
        int a = 1;//权重
        while(x > 0){
        int sh = x / 3;//商
            if(x%3 == 1){
                s = "+" + a + s;
            }
            else if(x%3 == 2){
                s = "-" + a + s;
                sh++;
            }
            a = a*3;
            x = sh;
        }
        return s.substring(1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        for(int i=1;i<50;i++){
            System.out.println(i+":"+f(i));
        }
    }
}

例3【Excel地址】

Excel单元格的地址表示很有趣，它使用字母来表示列号，比如：
A表示第1列，
B表示第2列，
Z表示第26列，
AA表示第27列，
AB表示第28列，
BA表示第53列，
....
当然Excel的最大列号是有限度的，所以转换起来不难。
如果我们想把这种表示法一般化，可以把很大的数字转换为很长的字母序列呢？

本题目既是要求对输入的数字, 输出其对应的Excel地址表示方式。

例如，
输入：
26
则程序应该输出：
Z

再例如，
输入：
2054
则程序应该输出：
BZZ

我们约定，输入的整数范围[1,2147483647]

解析：该题并不属于26进制类型，A是从1开始而不是从0开始，正确方式应该是利用暴力破解的逆向思维

例4【日期问题】

问题描述
　　已知2011年11月11日是星期五，问YYYY年MM月DD日是星期几？注意考虑闰年的情况。尤其是逢百年不闰，逢400年闰的情况。
输入格式
　　输入只有一行
　　YYYY MM DD
输出格式
　　输出只有一行
　　W
数据规模和约定
　　1599 <= YYYY <= 2999
　　1 <= MM <= 12
　　1 <= DD <= 31，且确保测试样例中YYYY年MM月DD日是一个合理日期
　　1 <= W <= 7，分别代表周一到周日
样例输入
2011 11 11
样例输出
5

解析：A-B = A - 基准 - (B - 基准)

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        int w=5;
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        String []data=new String[3];
        data=sc.nextLine().split(" ");
        int year=Integer.parseInt(data[0]);
        int month=Integer.parseInt(data[1]);
        int date=Integer.parseInt(data[2]);
        int x=f(year,month,date)-f(2011,11,11);
        switch(x%7) {
            case 0:w=5;break;
            case 1:w=6;break;
            case 2:w=7;break;
            case 3:w=1;break;
            case 4:w=2;break;
            case 5:w=3;break;
            case 6:w=4;break;
            case -1:w=4;break;
            case -2:w=3;break;
            case -3:w=2;break;
            case -4:w=1;break;
            case -5:w=7;break;
            case -6:w=6;break;
        }
        System.out.println(w);
    }
    static Boolean is_leap_year(int n) {
        if((n%4==0&&n%100!=0)||n%400==0)
            return true;
        return false;
    }
    static int f(int year, int month, int date) {
        int [] m = {0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};//易错 ：月份从一开始，前面0不可省
        if(is_leap_year(year))
            m[2]++;//易错
        int sum=0;
        for(int i=1599;i<year;i++) {
            sum+=365;
            if(is_leap_year(i))
                sum=sum+1;
        }
        for(int i=1;i<month;i++) {
            sum+=m[i];
        }
        sum=sum+date;
        return sum;
    }
}

例5【模m运算】

有3堆硬币，分别是3,4,5
二人轮流取硬币。
每人每次只能从某一堆上取任意数量。
不能弃权。
取到最后一枚硬币的为赢家。
求先取硬币一方有无必胜的招法。 

解析：模2的加法（同余理论）：1+1=0, 1+0=1, 0+1=1, 0+0=0
     理论：如果和为0，无论怎么拿，都会!=0；如果非0，总有办法...0 

若将局面变成1 4 5，模2加为0，那么留给对方的必为输局

//尼姆堆的模2加（异或）解法
public class Main {
    static void f(int []a){
        int sum = 0;
        for(int i=0;i<a.length;i++){
            sum^=a[i];
        }
        if(sum==0) {
            System.out.println("输局");
            return;
        }
        //x ^ y ^y = x
        for(int i=0;i<a.length;i++){
            int x = sum ^a[i];
            if(x < a[i])//拿了之后数量一定比之前少！！！
                System.out.println(a[i] + "-->" + x);
                /*  5-->0
                    12-->9
                    14-->11*/
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int [] a = {2,5,12,14};
        f(a);
    }
}