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4. 寻找两个有序数组的中位数

4. 寻找两个有序数组的中位数

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。

请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。

你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

则中位数是 2.0
示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

切题

一、Clarification

1、明确题目

两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2
中位数:将一个集合划分为两个长度相等的子集，其中一个子集中的元素总是大于另一个子集中的元素。
时间复杂度为 O(log(m + n))。

二、Possible Solution
两个大小为 m 和 n 的有序数组 A、B
假设m<n,len(A)<len(B)
A中任一位置 i 将 A 划分成两个部分：

B中任一位置 j 将 B 划分成两个部分：

将A，B看成一个整体，将left_A和left_B放入一个集合，将right_A和right_B放入另一个集合。两个新的集合分别命名为 **left_part **和 right_part。

如果满足

len(left_part)=len(right_part)
max(left_part) <= min(right_part)

那么，我们已经将 {A,B} 中的所有元素划分为相同长度的两个部分，那么中位数就为：

 $$median =frac{max(leftpart)+min(rightpart)}{2}$$

len(left_part)=len(right_part) 那么：

$$i + j = m−i+n−j$$
当m+n为奇数时，为了确保中位数落在left_part中便于后续处理，这里可为

$$i + j = m−i+n−j+1也就可以得到 j = frac{m + n + 1}{2} - i,0<=i<=m  $$

max(left_part) <= min(right_part)那么：
$$B[j-1]<=A[j] 并且 A[i-1]<=B[j]$$
注意边界情况：
max_of_left 为左边最大值，min_of_right 为右边最小值

i == 0 时 :  max_of_left = B[j-1]
j == 0 时 :  max_of_left = A[i-1]
i == m 时 :  min_of_right = B[j]
j == n 时 :  min_of_right = A[i]

我们需要做的是：

$$B[j-1]<=A[j] 并且 A[i-1]<=B[j]，其中j = frac{m + n + 1}{2} - i,0<=i<=m $$

由于数组是有序的并且要求时间复杂度为 O(log(m + n))可以容易想到二分查找的方法，不过处理复杂点：
1、设 imin=0，imax=m, 然后开始在 [imin,imax] 中进行搜索。
2、那么$$i =  frac{imin+ imax}{2},  j = frac{m + n + 1}{2} - i $$

3、len(left_part)=len(right_part)会遇到三种情况：

• 情况一：B[j−1]≤A[i] 且A[i−1]≤B[j]：
  这意味着我们找到了目标对象 i，可以停止搜索。
• 情况二：B[j−1]>A[i]，i<m：
  这意味着 A[i] 太小，我们必须增大 i 以使 B[j−1]≤A[i]，也就是在[ i+1,imax]中进行搜索
• 情况三：A[i−1]>B[j]， i>0：
  这意味着 A[i−1] 太大，我们必须减小 i 以使 A[i−1]≤B[j]。也就是在[imin,i+1]中进行搜索

注意当找到目标对象 i 时，中位数需要根据m+n的奇偶来取值：

$$ max(A[i-1],B[j-1])，当 m + n 为奇数时，由上面i + j = m−i+n−j+1确保中位数落在左边$$

$$ frac{max(A[i-1],B[j-1]) +min(A[i],B[j])}{2}，当 m+n 为偶数时$$

Python3

二分查找方法

# @author:leacoder
# @des:  二分查找变式 寻找两个有序数组的中位数
# 什么是中位数：将一个集合划分为两个长度相等的子集，其中一个子集中的元素总是大于另一个子集中的元素。
class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
        # 确保 m < n 便于后续处理
        m, n = len(nums1), len(nums2)
        if m > n: # 如果大于了 交换 nums1 与 nums2
            nums1, nums2, m, n = nums2, nums1, n, m
        if n == 0:
            raise ValueError
        # 确保 m < n end

        imin, imax, half_len = 0, m, (m + n + 1) / 2
        while imin <= imax:
            i = int((imin + imax) / 2)
            j = int(half_len - i)  # 确保中位数落在左边
            if i < m and nums2[j-1] > nums1[i]:  # 情况二：
                # i 太小
                imin = i + 1
            elif i > 0 and nums1[i-1] > nums2[j]:  # 情况三：
                # i 太大
                imax = i - 1
            else:  # 情况一：
                # i 满足要求，但有些边界需注意
                if i == 0: max_of_left = nums2[j-1]
                elif j == 0: max_of_left = nums1[i-1]
                else: max_of_left = max(nums1[i-1], nums2[j-1])

                if (m + n) % 2 == 1:  #  m + n 为奇数
                    return max_of_left

                if i == m: min_of_right = nums2[j]
                elif j == n: min_of_right = nums1[i]
                else: min_of_right = min(nums1[i], nums2[j])

                return (max_of_left + min_of_right) / 2.0   #m + n 为偶数时

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