基于严蔚敏及吴伟民编著的清华大学C语言版教材并结合网上相关资料整理(http://www.docin.com/p-2027739005.html)

第一章：绪论

1.数据结构：是一门研究非数值计算的程序设计问题中计算机的操作对象以及他们之间的关系和操作等的学科。

2.数据结构涵盖的内容：

3.基本概念和术语:

数据：对客观事物的符号表示，在计算机科学中是指所有能输入到计算机中并被计算机程序处理的符号的总称。

数据元素：数据的基本单位，在计算机程序中通常作为一个整体进行考虑和处理。

数据对象：性质相同的数据元素的集合，是数据的一个子集。

数据结构：相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

数据类型：一个值的集合和定义在这个值集上的一组操作的总称。

4.算法和算法分析

1）算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中每一条指令表示一个或多个操作。

算法五个特性：有穷性，确定性，可行性，输入，输出。

2）算法设计要求：正确性，可读性，健壮性，效率与低存储量需求。

3）算法分析：时间复杂度，空间复杂度，稳定性

 

第二章：线性表

1.线性结构特点：在数据元素的非空有限集合中，(1)存在唯一的一个被称做“第一个”的数据元素；(2)存在唯一的一个被称做“最后一个”的数据元素；(3)除第一个之外，集合中的每个数据元素均只有一个前驱；(4)除最后一个之外，集合中每个数据元素均只有一个后继。

2.线性表定义：有限个性质相同的数据元素组成的序列。

3.线性表的存储结构：顺序存储结构和链式存储结构

顺序存储定义：把逻辑上相邻的数据元素存储在物理上相邻的存储单元中的存储结构。

通常用数组来描述数据结构中的顺序存储结构。

链式存储结构: 其结点在存储器中的位置是随意的，即逻辑上相邻的数据元素在物理上不一定相邻。通过指针来实现。

数据结构的基本运算：修改、插入、删除、查找、排序

4.线性表的顺序表示和实现

1）修改：通过数组的下标便可访问某个特定元素并修改。

时间复杂度O(1)

2） 插入:在线性表的第i个位置前插入一个元素

实现步骤：

   ①将第n至第i 位的元素逐一向后移动一个位置；

   ②将要插入的元素写到第i个位置；

   ③表长加1。

   注意：事先应判断: 插入位置i 是否合法?表是否已满?

   应当符合条件： 1≤i≤n+1  或  i=[1, n+1]

   核心语句：

for (j=n; j>=i; j--)

a[j+1]=a[ j ]; 

a[ i ]=x;   

n++;

  插入时的平均移动次数为：n(n+1)/2÷（n+1）＝n/2≈O(n)

3）删除：删除线性表的第i个位置上的元素

  实现步骤：

  ①将第i+1 至第n 位的元素向前移动一个位置；

  ②表长减1。

  注意：事先需要判断，删除位置i 是否合法?

  应当符合条件：1≤i≤n  或  i=[1, n]

  核心语句：

{

    for ( j=i+1; j<=n; j++ )

    a[j-1]=a[j]; 

    n--;

}

  顺序表删除一元素的时间效率为:T(n)=(n-1)/2 ≈O(n)

  顺序表插入、删除算法的平均空间复杂度为O(1)

5.线性表的链式表示和实现

线性链表：用一组任意的存储单元存储线性表的数据元素（这组存储单元可以是连续的，也可以是不连续的）。

一个数据元素称为一个结点，包括两个域：存储数据元素信息的域称为数据域；存储直接后继存储位置的域称为指针域。指针域中存储的信息称作指针或链。

由于链表的每个结点中只包含一个指针域，故线性链表又称为单链表。

1）单链表的修改(或读取）

思路：要修改第i个数据元素，必须从头指针起一直找到该结点的指针p，return p;  

然后才能：p->data=new_value

读取第i个数据元素的核心语句是：

Linklist *find(Linklist *head ,int i)

{ 

   int j=1;

   Linklist *p;

   P=head->next;

   While((p!=NULL)&&(j<i))

   {

       p=p->next;

       j++;

    }

}

2）单链表的插入

链表插入的核心语句：

Step 1：s->next=p->next;

Step 2：p->next=s；

3）单链表的删除

删除动作的核心语句（要借助辅助指针变量q）：

q = p->next;           //首先保存b的指针，靠它才能找到c；

p->next=q->next;  //将a、c两结点相连，淘汰b结点；

free(q) ；               //彻底释放b结点空间

4）双向链表的插入操作

设p已指向第i 元素，请在第 i 元素前插入元素 x：

① ai-1的后继从 ai ( 指针是p)变为 x（指针是s) :

                s->next = p  ;   p->prior->next = s ;

② ai  的前驱从ai-1 ( 指针是p->prior)变为 x ( 指针是s);

                s->prior = p ->prior ; p->prior = s ;

5）双向链表的删除操作

设p指向第i 个元素，删除第 i 个 元素

后继方向：ai-1的后继由ai ( 指针p)变为ai+1(指针 p ->next );

                   p ->prior->next =  p->next  ;

前驱方向：ai+1的前驱由ai ( 指针p)变为ai-1 (指针 p -> prior );

                 p->next->prior = p ->prior ;

6.循环链表

循环链表是另一种形式的链式存储结构。它的特点是表中最后一个结点的指针域指向头结点，整个链表形成一个环。

循环链表的操作和线性链表基本一致，差别仅在于算法中的循环条件不是p或p->next是否为空，而是它们是否等于头指针。

学习重点：

• 线性表的逻辑结构，指线性表的数据元素间存在着线性关系。在顺序存储结构中，元素存储的先后位置反映出这种线性关系，而在链式存储结构中，是靠指针来反映这种关系的。

• 顺序存储结构用一维数组表示，给定下标，可以存取相应元素，属于随机存取的存储结构。

• 链表操作中应注意不要使链意外“断开”。因此，若在某结点前插入一个元素，或删除某元素，必须知道该元素的前驱结点的指针。

• 掌握通过画出结点图来进行链表（单链表、循环链表等）的生成、插入、删除、遍历等操作。

• 数组（主要是二维）在以行序/列序为主的存储中的地址计算方法。

补充重点：

• 每个存储结点都包含两部分：数据域和指针域(链域)

• 在单链表中，除了首元结点外，任一结点的存储位置由 其直接前驱结点的链域的值 指示。

• 在链表中设置头结点有什么好处？

    头结点即在链表的首元结点之前附设的一个结点，该结点的数据域可以为空，也可存放表长度等附加信息，其作用是为了对链表进行操作时，可以对空表、非空表的情况以及对首元结点进行统一处理，编程更方便。

• 如何表示空表？

（1）无头结点时，当头指针的值为空时表示空表；

（2）有头结点时，当头结点的指针域为空时表示空表。

• 链表的数据元素有两个域，不再是简单数据类型，编程时该如何表示？

 因每个结点至少有两个分量，且数据类型通常不一致，所以要采用结构数据类型。

• sizeof(x)——  计算变量x的长度（字节数）；

          malloc(m) —  开辟m字节长度的地址空间，并返回这段空间的首地址；

          free(p)   —— 释放指针p所指变量的存储空间，即彻底删除一个变量。

• 链表的运算效率分析：

（1）查找 

因线性链表只能顺序存取，即在查找时要从头指针找起，查找的时间复杂度为 O(n)。

（2） 插入和删除 

因线性链表不需要移动元素，只要修改指针，一般情况下时间复杂度为 O(1)。

但是，如果要在单链表中进行前插或删除操作，因为要从头查找前驱结点，所耗时间复杂度将是 O(n)。

例：在n个结点的单链表中要删除已知结点*P，需找到它的前驱结点的地址，其时间复杂度为 O（n）

• 顺序存储和链式存储的区别和优缺点？

    顺序存储时，逻辑上相邻的数据元素，其物理存放地址也相邻。顺序存储的优点是存储密度大，存储空间利用率高；缺点是插入或删除元素时不方便。

　　链式存储时，相邻数据元素可随意存放，但所占存储空间分两部分，一部分存放结点值，另一部分存放表示结点间关系的指针。链式存储的优点是插入或删除元素时很方便，使用灵活。缺点是存储密度小，存储空间利用率低。

• 顺序表适宜于做查找这样的静态操作；

• 链表宜于做插入、删除这样的动态操作。

• 若线性表的长度变化不大，且其主要操作是查找，则采用顺序表；

• 若线性表的长度变化较大，且其主要操作是插入、删除操作，则采用链表。

① 数组中各元素具有统一的类型；

② 数组元素的下标一般具有固定的上界和下界，即数组一旦被定义，它的维数和维界就不再改变。

③数组的基本操作比较简单，除了结构的初始化和销毁之外，只有存取元素和修改元素值的操作。

• 三元素组表中的每个结点对应于稀疏矩阵的一个非零元素，它包含有三个数据项，分别表示该元素的 行下标  、列下标 和 元素值 。

第三章：栈和队列

1.栈:限定仅在表尾进行插入或删除操作的线性表。

栈的基本操作：在栈顶进行插入或删除，栈的初始化、判空及取栈顶元素等。

入栈口诀：堆栈指针top “先压后加”

出栈口诀：堆栈指针top “先减后弹”

top=0表示空栈。

 

2.栈的表示和实现

     1)构造一个空栈S

    Status InitStack(SqStack &S)

    {

        S.base = (SElemType *) malloc(STACK_INIT_SIZE * sizeof(SElemType));

        if(!S.base) exit (OVERFLOW); //存储分配失败

            S.top = S.base;

            S.stacksize = STACK_INIT_SIZE;

            return OK;

    }

 

    2)返回栈顶元素

       Status GetTop(SqStack S, SElemType e) 

        {//若栈不空，则用e返回S的栈顶元素，并返回OK，否则返回ERROR

            if(S.top == S.base) return ERROR;

            e = *(S.top-1);

            return OK; 

        }//GetTop

 

    3)顺序栈入栈函数PUSH（）

Status Push(SqStack &S, SElemType e)

{ //插入元素e为新的栈顶元素

    if(S.top-S.base>=S.stacksize)//栈满，追加存储空间

   {

    s.base = (SElemType*)realloc(S.base,(S.stacksize+STACKINCREMENT)*sizeof(SElemType));

    if(!S.base) exit(OVERFLOW);//存储分配失败

    S.top = S.base + S.stacksize;

    S.stacksize += STACKINCREMENT;

    }

    *S.top++ =e;

    return OK:

}//PUSH

4)顺序栈出栈函数POP()

status Pop( SqStack &S,SElemType &e)

{ //若栈不空，则删除S的栈顶元素，用e返回其值，并返回OK,否则返回ERROR

    if(S.top == S.base) return ERROR; 

    e=* —S.top;

    return OK;

        }

3.栈的应用

数制转换，括号匹配的检验，行编辑程序，迷宫求解，表达式求值，递归实现。

4.队列：是一种先进先出的线性表，它只允许在表的一端进行插入，而在另一端删除元素。

允许插入的一端叫做队尾，允许删除的一端叫做队头。

除了栈和队列外，还有一种限定性数据结构是双端队列。双端队列是限定插入和删除操作在表的两端进行的线性表。

5.链队列结点类型定义：

 typedef Struct QNode{

     QElemType        data;     //元素

     Struct   QNode   *next;  //指向下一结点的指针

   }Qnode , * QueuePtr ;

链队列类型定义：

 typedef  struct {

  QueuePtr     front ; //队首指针

  QueuePtr     rear ; //队尾指针

  }  LinkQueue;

链队示意图：

①  空链队的特征：front=rear

②  链队会满吗？一般不会，因为删除时有free动作。除非内存不足！

③  入队（尾部插入）：rear->next=S; rear=S;

    出队（头部删除）：front->next=p->next;

6.顺序队

顺序队类型定义：

#define    QUEUE-MAXSIZE  100  //最大队列长度

     typedef    struct {

            QElemType     *base;    //队列的基址

             int                    front;     //队首指针

             int                     rear;    //队尾指针

       }SqQueue

建队核心语句：

q.base=(QElemType *)malloc(sizeof (QElemType)* QUEUE_MAXSIZE);       //分配空间

顺序队示意图：

7.循环队列：

队空条件 :  front = rear       (初始化时：front = rear )

队满条件： front = (rear+1) % N         (N=maxsize)

队列长度（即数据元素个数）：L=（N＋rear－front）% N

1)初始化一个空队列

Status   InitQueue ( SqQueue  &q ) //初始化空循环队列 q

{   

q.base=(QElemType *)malloc(sizeof(QElemType）* QUEUE_MAXSIZE);   //分配空间

if (!q.base)  exit(OVERFLOW);//内存分配失败，退出程序

   q.front =q.rear=0; //置空队列

    return OK;

 } //InitQueue;

 

2)入队操作

Status   EnQueue(SqQueue  &q,  QElemType e)

{//向循环队列 q 的队尾加入一个元素 e

   if ( (q.rear+1) %  QUEUE_MAXSIZE ==  q.front)

                    return  ERROR ; //队满则上溢，无法再入队

        q.rear = ( q.rear + 1 ) %  QUEUE_MAXSIZE;

        q.base [q.rear] = e;    //新元素e入队

        return  OK;

 }// EnQueue;

 

3)出队操作

Status     DeQueue ( SqQueue  &q,    QElemType &e)

 {//若队列不空，删除循环队列q的队头元素，

        //由 e 返回其值，并返回OK

      if ( q.front = = q.rear )   return ERROR;//队列空

      q.front=(q.front+1) % QUEUE_MAXSIZE; 

      e = q.base [ q.front ] ;

     return OK;

    }// DeQueue

• 链队列空的条件是首尾指针相等，而循环队列满的条件的判定，则有队尾加1等于队头和设标记两种方法。

补充重点：

1. 为什么要设计堆栈？它有什么独特用途？

2. 什么叫“假溢出” ？如何解决？

① 调用函数或子程序非它莫属；

② 递归运算的有力工具；

③ 用于保护现场和恢复现场；

④ 简化了程序设计的问题。                         

2.为什么要设计队列？它有什么独特用途？

① 离散事件的模拟（模拟事件发生的先后顺序,例如 CPU芯片中的指令译码队列）；

② 操作系统中的作业调度（一个CPU执行多个作业）；

③ 简化程序设计。

答：在顺序队中，当尾指针已经到了数组的上界，不能再有入队操作，但其实数组中还有空位置，这就叫“假溢出”。解决假溢出的途径———采用循环队列。

4.在一个循环队列中，若约定队首指针指向队首元素的前一个位置。那么，从循环队列中删除一个元素时，其操作是先 移动队首位置 ，后 取出元素。

5.线性表、栈、队的异同点：

相同点：逻辑结构相同，都是线性的；都可以用顺序存储或链表存储；栈和队列是两种特殊的线性表，即受限的线性表（只是对插入、删除运算加以限制）。

不同点：① 运算规则不同：

线性表为随机存取；

而栈是只允许在一端进行插入和删除运算，因而是后进先出表LIFO；

队列是只允许在一端进行插入、另一端进行删除运算，因而是先进先出表FIFO。

② 用途不同，线性表比较通用；堆栈用于函数调用、递归和简化设计等；队列用于离散事件模拟、OS作业调度和简化设计等。

 

第四章：串

1.串是数据元素为字符的线性表，串的定义及操作。

串即字符串，是由零个或多个字符组成的有限序列，是数据元素为单个字符的特殊线性表。

串比较：int strcmp(char *s1,char *s2);            

求串长：int strlen(char *s);                          

串连接：char  strcat(char *to,char *from)   

子串T定位：char strchr(char *s,char *c);

2.串的存储结构，因串是数据元素为字符的线性表，所以存在“结点大小”的问题。

模式匹配算法 。

串有三种机内表示方法：

 

3.模式匹配算法 ：

算法目的：确定主串中所含子串第一次出现的位置（定位）

定位问题称为串的模式匹配，典型函数为Index(S,T,pos)

BF算法的实现—即编写Index(S, T, pos)函数

BF算法设计思想：

将主串S的第pos个字符和模式T的第1个字符比较，

若相等，继续逐个比较后续字符；

若不等，从主串S的下一字符（pos+1）起，重新与T第一个字符比较。 

直到主串S的一个连续子串字符序列与模式T相等。返回值为S中与T匹配的子序列第一个字符的序号，即匹配成功。

否则，匹配失败，返回值 0。

Int Index_BP(SString S, SString T, int pos)

{ //返回子串T在主串S中第pos个字符之后的位置。若不存在，则函数值为0.

 // 其中，T非空，1≤pos≤StrLength(S)

    i=pos;      j=1;

   while ( i<=S[0] && j<=T[0] ) //如果i,j二指针在正常长度范围，

     {  

       if (S[i] = = T[j] ) {++i, ++j; }   //则继续比较后续字符

       else {i=i-j+2; j=1;} //若不相等，指针后退重新开始匹配

      }

  if(j>T[0]) return i-T[0];  //T子串指针j正常到尾，说明匹配成功，  else return 0;        //否则属于i>S[0]情况，i先到尾就不正常

} //Index_BP

补充重点：

1.空串和空白串有无区别？

答：有区别。

空串(Null String)是指长度为零的串；

而空白串(Blank  String),是指包含一个或多个空白字符‘  ’(空格键)的字符串.

2.“空串是任意串的子串；任意串S都是S本身的子串，除S本身外，S的其他子串称为S的真子串。”

 

第五章：数组和广义表

重点：二维数组的位置计算。

矩阵的压缩存储：特殊矩阵(三角矩阵，对称矩阵)，稀疏矩阵，

 

第六章：树和二叉树

1.树：是n(n≥0)个结点的有限集。(1)有且仅有一个特定的称为根（root）的结点;（2）当n>1时，其余的结点分为m(m≥0)个互不相交的有限集合T1,T2，…，Tm。每个集合本身又是棵树，被称作这个根的子树 。

2.二叉树：是n（n≥0）个结点的有限集合，由一个根结点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的性质，存储结构。

性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）。

性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k>0）。

性质3: 对于任何一棵二叉树，如果其终端结点数为n0,度为2的结点数有n2个，则叶子数n0=n2＋1

性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度必为 [log2n]+1

性质5: 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）。

二叉树的存储结构：

1).顺序存储结构

按二叉树的结点“自上而下、从左至右”编号，用一组连续的存储单元存储。

若是完全/满二叉树则可以做到唯一复原。

不是完全二叉树：一律转为完全二叉树！

方法很简单，将各层空缺处统统补上“虚结点”，其内容为空。

缺点：①浪费空间；②插入、删除不便 

2).链式存储结构

用二叉链表即可方便表示。一般从根结点开始存储。

lchild

data

rchild

优点：①不浪费空间；②插入、删除方便

3.二叉树的遍历。

指按照某种次序访问二叉树的所有结点，并且每个结点仅访问一次，得到一个线性序列。

遍历规则:二叉树由根、左子树、右子树构成，定义为D、 L、R

若限定先左后右，则有三种实现方案：

  DLR               LDR                   LRD

先序遍历           中序遍历          后序遍历

4.线索二叉树

1）线索二叉树可以加快查找前驱与后继结点，实质就是将二叉链表中的空指针改为指向前驱或后继的线索，线索化就是在遍历中修改空指针。

通常规定：对某一结点，若无左子树，将lchild指向前驱结点；若无右子树，将rchild指向后继结点。

还需要设置左右两个tag，用来标记当前结点是否有子树。

若ltag==1,lchild指向结点前驱；若rtag==1，rchild指向结点后继。

2）线索二叉树的存储结构如下：

typedef struct ThreadNode{

ElemType data;

struct ThreadNode *lchild, *rchild;

int ltag, rtag;

}ThreadNode, *ThreadTree;

5.树和森林

1）树有三种常用存储方式：

①双亲表示法     ②孩子表示法    ③孩子—兄弟表示法

2）森林、树、二叉树的转换

(1)将树转换为二叉树

树中每个结点最多只有一个最左边的孩子(长子)和一个右邻的兄弟。按照这种关系很自然地就能将树转换成相应的二叉树：a.在所有兄弟结点之间加一连线

b.对每个结点，除了保留与其长子的连线外，去掉该结点与其它孩子的连线。

(2)将一个森林转换为二叉树：

具体方法是：a.将森林中的每棵树变为二叉树；

b.因为转换所得的二叉树的根结点的右子树均为空，故可将各二叉树的根结点视为兄弟从左至右连在一起，就形成了一棵二叉树。

(3)二叉树转换为树

是树转换为二叉树的逆过程。

a.加线。若某结点X的左孩子结点存在，则将这个左孩子的右孩子结点、右孩子的右孩子结点、右孩子的右孩子的右孩子结点，都作为结点X的孩子。将结点X与这些右孩子结点用线连接起来。

b.去线。删除原二叉树中所有结点与其右孩子结点的连线。

 

(4)二叉树转换为森林：

假如一棵二叉树的根节点有右孩子，则这棵二叉树能够转换为森林，否则将转换为一棵树。

a.从根节点开始，若右孩子存在，则把与右孩子结点的连线删除。再查看分离后的二叉树，若其根节点的右孩子存在，则连线删除。直到所有这些根节点与右孩子的连线都删除为止。

b.将每棵分离后的二叉树转换为树。

6.树和森林的遍历

• 树的遍历

① 先根遍历：访问根结点；依次先根遍历根结点的每棵子树。

② 后根遍历：依次后根遍历根结点的每棵子树；访问根结点。

 

• 森林的遍历

① 先序遍历

若森林为空，返回；

访问森林中第一棵树的根结点；

先根遍历第一棵树的根结点的子树森林；

先根遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。

② 中序遍历

若森林为空，返回；

中根遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林；

访问第一棵树的根结点；

中根遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。

 

7.哈夫曼树及其应用

Huffman树：最优二叉树（带权路径长度最短的树）

Huffman编码：不等长编码。

树的带权路径长度：(树中所有叶子结点的带权路径长度之和)

构造Huffman树的基本思想：权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。

构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：

(1) 由给定的 n 个权值{ w1, w2, …, wn }构成n棵二叉树的集合F = { T1, T2, …, Tn } （即森林） ，其中每棵二叉树 Ti 中只有一个带权为 wi 的根结点，其左右子树均空。

(2) 在F 中选取两棵根结点权值最小的树 做为左右子树构造一棵新的二叉树，且让新二叉树根结点的权值等于其左右子树的根结点权值之和。

(3) 在F 中删去这两棵树，同时将新得到的二叉树加入 F中。

(4) 重复(2) 和(3) , 直到 F 只含一棵树为止。这棵树便是Huffman树。

具体操作步骤：

应用：用于通信编码

　　在通信及数据传输中多采用二进制编码。为了使电文尽可能的缩短，可以对电文中每个字符出现的次数进行统计。设法让出现次数多的字符的二进制码短些，而让那些很少出现的字符的二进制码长一些。假设有一段电文，其中用到 4 个不同字符Ａ，Ｃ，Ｓ，Ｔ，它们在电文中出现的次数分别为 7 ， 2 ， 4 ， 5 。把 7 ， 2 ， 4 ， 5 当做 4 个叶子的权值构造哈夫曼树如图(a) 所示。在树中令所有左分支取编码为 0 ，令所有右分支取编码为1。将从根结点起到某个叶子结点路径上的各左、右分支的编码顺序排列，就得这个叶子结点所代表的字符的二进制编码，如图(b) 所示。这些编码拼成的电文不会混淆，因为每个字符的编码均不是其他编码的前缀，这种编码称做前缀编码。

 

第七章 图

1.图的定义，概念、术语及基本操作(https://blog.csdn.net/eyishion/article/details/53234255)

1）图的定义

图(Graph)是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成;

通常表示为:G(V,E),G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合；

注意：在图中数据元素称之为顶点(Vertex),而且顶点集合有穷非空；在图中任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示。

2）图的分类

• 按照有无方向，分为无向图和有向图；

无向图：如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。

无向边：若顶点M到顶点N的边没有方向，称这条边为无向边，用无序偶对(M,N)或(N,M)表示。

无向图是有边和顶点构成。如下图所示就是一个无向图G1：

无向图G1= (V1,{E1}),其中顶点集合 V1={A,B,C,D};边集合E1={(A,B),(B,C),(C,D),(D,A)}

有向图：如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。

有向边：若顶点M到顶点N的边有方向，称这条边为有向边，也称为弧，用偶序对 < M, N >表示；M表示弧尾，N表示弧头

有向图是有弧和顶点构成，如下图所示是一个有向图G2：

有向图G2=(V2，{E2}),其中顶点集合 V2={A,B,C,D};弧集合E2={< A,D>,< B,A>,< C,A>,< B,C>}

对于弧< A,D>来说， A是弧尾，D是弧头

注意：无向边用 小括号 “()”表示，有向边用“<>”表示。

无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。

含有n个顶点的无向完全图有n * (n-1)/2条边。下面是一个无向完全图

4个顶点，6条无向边，每个顶点对应3条边 ，一共4个顶点 总共 4*3，每个顶点对应的边都重复计算了一次，所以整体要除以2。

对于n各 顶点和e条边的无向图满足：0<=e <= n(n-1)/2

有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。

含有n个顶点的无向完全图有n * (n-1)条边。下面是一个有向完全图

4个顶点，12条弧，一共4个顶点 总共 4*3。

2，按照弧或边的多少，分为稀疏图和稠密图；

若边或弧的个数e<=NlogN(N是顶点的个数)，称为系数图，否则称为稠密图；

3，按照边或弧是否带权，其中带权的图统称为网

有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权。

有向网中弧带权的图叫做有向网；

无向网中边带权的图叫做无向网；

比如下图就是一个无向图

 

图的顶点和边间关系

邻接点 度 入度 出度

对于无向图，假若顶点v和顶点w之间存在一条边，则称顶点v和顶点w互为邻接点，边(v,w)和顶点v和w相关联。

顶点v的度是和v相关联的边的数目，记为TD(v);

上面这个无向图G1，A和B互为邻接点，A和D互为邻接点，B和C互为邻接点，C和D互为邻接点;

A的度是2,B的度是2,C的度是2,D的度是2;所有顶点度的和为8，而边的数目是4；

图中边的数目e = 各个顶点度数和的一半。

对于有向图来说，与某个顶点相关联的弧的数目称为度(TD)；以某个顶点v为弧尾的弧的数目定义为顶点v的出度(OD)；以顶点v为弧头的弧的数目定义为顶点的入度(ID)

度(TD) = 出度(OD) + 入度(ID);

比如上面有向图，

A的度为3 ，A的入度 2，A的出度是1

B的度为2 ，B的入度 0，B的出度是2

C的度为2 ，C的入度 1，C的出度是1

D的度为1 ，D的入度 1，D的出度是0

所有顶点的入度和是4，出度和也是4，而这个图有4个弧

所以 有向图的弧 e = 所有顶点入度的和 = 所有顶点出度的和

路径 路径长度 简单路径 回路 (环) 简单回路(简单环)

设图G=(V，{E})中的一个顶点序列{u=Fi0,Fi1,Fi2,….Fim=w}中，(Fi,j-1,Fi,j)∈E 1 ≤j ≤m,则称从顶点u到顶点w之间存在一条路径，路径上边或弧的数目称作路径长度，

若路径中的顶点不重复出现的路径称为简单路径

若路径中第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环

若路径中第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环

比如下图 ：

从B 到 D 中顶点没有重复出现 ，所以是简单路径 ，边的数目是2，所以路径长度为 2。

图1和图2都是一个回路(环),图1中出了第一个顶点和最后一个顶点相同之外，其余顶点不相同，所以是简单环(简单回路)，图2，有与顶点C重复就不是一个简单环了；

连通图相关术语

连通图

在无向图G(V,{E})中，如果从顶点V到顶点W有路径，则称V和W是连通的。如果对于图中任意两个顶点Vi、Vj∈V,Vi和Vj都是连通的，则称G是连通图。

如下图所示：

图1，顶点A到顶点E就无法连通，所以图1不是连通；图2，图3，图4属于连通图；

连通分量

若无向图为非连通图，则图中各个极大连通子图称作此图的连通分量；

图1是无向非连通图，由两个连通分量，分别是图2和图3。图4尽管也是图1的子图，但是它不满足极大连通，也就说极大连通应当是包含ABCD四个顶点，比如图2那样；

强连通图

在有向图G(V,{E})中，如果对于每一对Vi ,Vj∈V,Vi≠Vj,从Vi到Vj和从Vj到Vi都存在有向路径,则称G是强连通图。

图1不是强连通图因为D到A不存在路径，图2属于强连通图。

强连通分量

若有向图不是强连通图，则图中各个极大强连通子图称作此图的强连通分量；

图1不是强连通图，但是图2是图1的强连通子图，也就是强连通分量；

生成树和生成森林

生成树

假设一个连通图有n个顶点和e条边，其中n-1条边和n个顶点构成一个极小连通子图，称该极小连通子图为此连通图的生成树；

图1是一个连通图含有4个顶点和4条边，图2，图3，图4含有3条边和4个顶点，构成了一个极小连通图子图，也称为生成树，为什么是极小连通子图，因为图2，图3，图4中少一条边都构不成一个连通图，多一条边就变成一个回路(环)，所以是3条边和4个顶点构成的极小连通子图。图5尽管也是3个边4个顶点，但不是连通图。

生成森林

如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度为1，则是一颗有向树；

入度为0，相当于根节点，入度为1，相当于分支节点；，比如下面的有向图就是一个有向树

顶点B的入度是0，其余顶点的入度是1；

一个有向图的生成森林由若干颗有向树组成，含有图中全部顶点，但有足以构成若干颗不相交的有向树的弧；

有向图1去掉一些弧后分解成2颗有向树，图2和图3，这两颗树就是有向图图1的生成森林；

2.图的存储结构

1).邻接矩阵(数组)表示法

① 建立一个顶点表和一个邻接矩阵

② 设图 A = (V, E) 有 n 个顶点，则图的邻接矩阵是一个二维数组 A.Edge[n][n]。

注：在有向图的邻接矩阵中，

   第i行含义：以结点vi为尾的弧(即出度边）；

   第i列含义：以结点vi为头的弧(即入度边）。

邻接矩阵法优点：容易实现图的操作，如：求某顶点的度、判断顶点之间是否有边（弧）、找顶点的邻接点等等。

邻接矩阵法缺点：n个顶点需要n*n个单元存储边(弧);空间效率为O(n^2)。

2).邻接表(链式)表示法

① 对每个顶点vi 建立一个单链表，把与vi有关联的边的信息（即度或出度边）链接起来，表中每个结点都设为3个域:

② 每个单链表还应当附设一个头结点（设为2个域），存vi信息；

③ 每个单链表的头结点另外用顺序存储结构存储。

邻接表的优点：空间效率高；容易寻找顶点的邻接点；

邻接表的缺点：判断两顶点间是否有边或弧，需搜索两结点对应的单链表，没有邻接矩阵方便。

3.图的遍历

遍历定义：从已给的连通图中某一顶点出发，沿着一些边，访遍图中所有的顶点，且使每个顶点仅被访问一次，就叫做图的遍历，它是图的基本运算。

图的遍历算法求解图的连通性问题、拓扑排序和求关键路径等算法的基础。

图常用的遍历：一、深度优先搜索；二、广度优先搜索 

深度优先搜索（遍历）步骤：(如下图)

① 访问起始点 v;

② 若v的第1个邻接点没访问过，深度遍历此邻接点；

③ 若当前邻接点已访问过，再找v的第2个邻接点重新遍历。

基本思想：——仿树的先序遍历过程。

遍历结果：v1->v2->v4->v8->v5-v3->v6->v7

广度优先搜索（遍历）步骤：

① 在访问了起始点v之后，依次访问 v的邻接点；

② 然后再依次（顺序）访问这些点（下一层）中未被访问过的邻接点；

③ 直到所有顶点都被访问过为止。

遍历结果：v1->v2->v3->v4->v5-v6->v7->v8

4.图的连通性问题

1）对无向图进行遍历时，对于连通图，仅需从图中任一顶点出发，进行深度优先搜索或广度优先搜索，便可访问到图中所有顶点。

2）最小生成树:在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树。

构造最小生成树有很多算法，但是他们都是利用了最小生成树的同一种性质：MST性质（假设N=(V,{E})是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集，如果（u，v）是一条具有最小权值的边，其中u属于U，v属于V-U，则必定存在一颗包含边（u，v）的最小生成树），下面就介绍两种使用MST性质生成最小生成树的算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

Kruskal算法特点：将边归并，适于求稀疏网的最小生成树。

Prime算法特点: 将顶点归并，与边数无关，适于稠密网。

Prime算法构造最小生成树过程如下图：

Kruskal算法构造最小生成树过程如下图：

5.有向无环图及其应用

有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。

1）拓扑排序

拓扑排序对应施工的流程图具有特别重要的作用，它可以决定哪些子工程必须要先执行，哪些子工程要在某些工程执行后才可以执行。

我们把顶点表示活动、边表示活动间先后关系的有向图称做顶点活动网(Activity On Vertex network)，简称AOV网。

一个AOV网应该是一个有向无环图，即不应该带有回路，因为若带有回路，则回路上的所有活动都无法进行（对于数据流来说就是死循环）。在AOV网中，若不存在回路，则所有活动可排列成一个线性序列，使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面，我们把此序列叫做拓扑序列(Topological order)，由AOV网构造拓扑序列的过程叫做拓扑排序(Topological sort)。AOV网的拓扑序列不是唯一的，满足上述定义的任一线性序列都称作它的拓扑序列。

拓扑排序的实现：

a.在有向图中选一个没有前驱的顶点并且输出

b.从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧（白话就是：删除所有和它有关的边）

c.重复上述两步，直至所有顶点输出，或者当前图中不存在无前驱的顶点为止，后者代表我们的有向图是有环的，因此，也可以通过拓扑排序来判断一个图是否有环。

2）关键路径

AOE-网是一个带权的有向无环图，其中，顶点表示事件，弧表示活动，权表示活动持续的时间。通常，AOE-网可用来估算工程的完成时间。

关键路径：在AOE网中，从始点到终点具有最大路径长度（该路径上的各个活动所持续的时间之和）的路径称为关键路径。

关键活动：关键路径上的活动称为关键活动。关键活动：e[i]=l[i]的活动

由于AOE网中的某些活动能够同时进行，故完成整个工程所必须花费的时间应该为始点到终点的最大路径长度。关键路径长度是整个工程所需的最短工期。

与关键活动有关的量：

(1)事件的最早发生时间ve[k]：ve[k]是指从始点开始到顶点vk的最大路径长度。这个长度决定了所有从顶点vk发出的活动能够开工的最早时间。 

(2)事件的最迟发生时间vl[k]：vl[k]是指在不推迟整个工期的前提下,事件vk允许的最晚发生时间。

(3)活动的最早开始时间e[i]:若活动ai是由弧<vk , vj>表示，则活动ai的最早开始时间应等于事件vk的最早发生时间。因此，有：e[i]=ve[k]

(4)活动的最晚开始时间l[i]:活动ai的最晚开始时间是指，在不推迟整个工期的前提下， ai必须开始的最晚时间。若ai由弧<vk，vj>表示，则ai的最晚开始时间要保证事件vj的最迟发生时间不拖后。因此，有：l[i]=vl[j]-len<vk,vj> 

示例如下：

6.最短路径

从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之和最小的一条路径叫做最短路径。

1）迪杰斯塔拉算法--单源最短路径

 

所有顶点间的最短路径—用Floyd（弗洛伊德）算法

第八章：查找

查找表是称为集合的数据结构。是元素间约束力最差的数据结构：元素间的关系是元素仅共在同一个集合中。（同一类型的数据元素构成的集合）

1.静态查找表

  1）顺序查找（线性查找）

  技巧：把待查关键字key存入表头或表尾（俗称“哨兵”），这样可以加快执行速度。

int Search_Seq( SSTable  ST , KeyType  key ){

ST.elem[0].key =key;

for( i=ST.length; ST.elem[ i ].key!=key;  - - i  );

      return i;

} // Search_Seq

//ASL＝（1＋n）/2，时间效率为 O(n)，这是查找成功的情况:

顺序查找的特点：

优点：算法简单，且对顺序结构或链表结构均适用。

       缺点： ASL 太大，时间效率太低。

  2）折半查找(二分查找)——只适用于有序表，且限于顺序存储结构。

  若关键字不在表中，怎样得知并及时停止查找？

  典型标志是：当查找范围的上界≤下界时停止查找。

  ASL的含义是“平均每个数据的查找时间”，而前式是n个数据查找时间的总和，所以：

 

3）分块查找（索引顺序查找）

思路：先让数据分块有序，即分成若干子表，要求每个子表中的数据元素值都比后一块中的数值小（但子表内部未必有序）。然后将各子表中的最大关键字构成一个索引表，表中还要包含每个子表的起始地址（即头指针）。

特点：块间有序，块内无序。

查找：块间折半，块内线性

查找步骤分两步进行：

① 对索引表使用折半查找法（因为索引表是有序表）；

② 确定了待查关键字所在的子表后，在子表内采用顺序查找法（因为各子表内部是无序表）；

查找效率ASL分析：

2.动态查找表

1）二叉排序树和平衡二叉树

• 二叉排序树的定义----或是一棵空树；或者是具有如下性质的非空二叉树：

 （1）若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根的值；

 （2）若它的右子树不空，则右子树的所有结点的值均大于根的值；

 （3）它的左右子树也分别为二叉排序树。

二叉排序树又称二叉查找树。

二叉排序树的查找过程：

BiTree SearchBST(BiTree T, KeyType key)

{

        //在根指针T所指二叉排序树中递归地查找某关键字等于key的数据元素，

        //若查找成功，则返回指向该数据元素结点的指针，否则返回空指针

        if ((!T)||EQ(key, T->data.key))  return(T); //查找结束

        else if LT(key, T->data.key) return (SearchBST(T->lchild, key)); //在左子树中继续查找

        else return (SearchBST(T->rchild,key)); //在右子树中继续查找

}

• 二叉排序树的插入

        思路：查找不成功，生成一个新结点s，插入到二叉排序树中；查找成功则返回。

   SearchBST (K,  &t) { //K为待查关键字，t为根结点指针

   p=t;       //p为查找过程中进行扫描的指针

   while（p!=NULL）

{

   case {

               K= p->data:  {查找成功，return true;}

               K< p->data :  {q=p；p=p->lchild }  //继续向左搜索

               K> p->data :  {q=p；p=p->rchild } //继续向右搜索

            }

  }  //查找不成功则插入到二叉排序树中

s =(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); 

s->data=K; s ->lchild=NULL; s ->rchild=NULL;

      //查找不成功，生成一个新结点s，插入到二叉排序树叶子处

case {

            t=NULL：   t=s;   //若t为空，则插入的结点s作为根结点

            K < q->data: q->lchild=s;  //若K比叶子