N-Queens

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n皇后问题，和数独问题一样，都是回溯法的经典题目。
n皇后问题约束是任意两个皇后不能在一行，不能在一列，不能在同一个45度直线，不能在同一个135度直线上。所以求解时需要记录

• 当前行是否已经存在一个皇后
• 当前列是否已经存在一个皇后
• 当前位置所在的45度直线上是否已经存在一个皇后
• 当前位置所在的135度直线上是否已经存在一个皇后

因为n行n个皇后，所以每一行有且仅有一个皇后，那么可以不需要记录当前行是否已经存在皇后，只要在当前行找到一个位置容纳皇后，就开始在下一行寻找，即每一行遍历右边列，找到满足后三个条件的位置即可。

所有的约束条件都可以用数组记录，即

• flag_col[column]表示column列是否已经存在一个皇后
• flag_45[p]表示位置[row, column]所在的45度直线是否出现过皇后，其中p是row和column的函数
• flag_135[q]表示位置[row, column]所在的135度直线是否出现过皇后，其中q是row和column的函数

比较不要记录的就是45度和135度直线上的情况，可以利用数学思维简化。

• 对于45度直线，可知斜率为1，即解析式可以写成y = x + b。那么对于在同一条45度直线的点，截距b是一定的，所以可以用y - x来代表某一条45度直线，所以可以另m = column - row。但是column可能会小于row，导致m为负值，所以可以将m增加n - 1让m变为正值，即m = n - 1 + column - row
• 对于135度直线，可知斜率为-1，同理可知另m = column + row，此时不存在m为负值的情况，无须加n - 1
• 不过需要注意的是flag_45和flag_135数组的大小是2 * n - 2，设置成2 * n即可

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        vector<vector<string>> res;
        vector<string> cur(n, string(n, '.'));
        vector<int> flag_col(n, 1), flag_45(2 * n, 1), flag_135(2 * n, 1);
        solveNQueens(n, 0, cur, res, flag_col, flag_45, flag_135);
        return res;
    }
private:
    void solveNQueens(int n, int row, vector<string>& cur, vector<vector<string>>& res, vector<int>& flag_col, vector<int>& flag_45, vector<int>& flag_135)
    {
        if(row >= n)
        {
            res.emplace_back(cur);
            return;
        }

        /* 回溯法 */
        for(int i = 0; i < n; ++i)
        {
            if(flag_col[i] && flag_45[n - 1 + i - row] && flag_135[i + row])
            {
                cur[row][i] = 'Q';
                flag_col[i] = flag_45[n - 1 + i - row] = flag_135[i + row] = 0;
                solveNQueens(n, row + 1, cur, res, flag_col, flag_45, flag_135);
                cur[row][i] = '.';
                flag_col[i] = flag_45[n - 1 + i - row] = flag_135[i + row] = 1;
            }
        }
    }
};