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快排堆排冒泡排。排序，在计算机中是再常见不过的算法。

在机器学习中，排序也经常用于统计数据、信息检索等领域。

那么问题来了，排序算法在函数角度上是分段线性的，也就是说，在几个分段的“节点”处是不可微的。这样，就给反向传播造成了困难。

现在，谷歌大脑针对这一问题，提出了一种快速可微分排序算法，并且，时间复杂度达到了O(nlogn)，空间复杂度达为O(n)。

速度比现有方法快出一个数量级！

代码的PyTorch、TensorFlow和JAX版本即将开源。

快速可微分排序算法

现代深度学习架构通常是通过组合参数化功能块来构建，并使用梯度反向传播进行端到端的训练。

这也就激发了像LeCun提出的可微分编程 (differentiable programming)的概念。

虽然在经验上取得了较大的成功，但是许多操作仍旧存在不可微分的问题，这就限制了可以计算梯度的体系结构集。

诸如此类的操作就包括排序 (sorting)和排名 (ranking)。

从函数角度来看都是分段线性函数，排序的问题在于，它的向量包含许多不可微分的“节点”，而排名的秩要比排序还要麻烦。

首先将排序和排名操作转换为在排列多面体(permutahedron)上的线性过程，如下图所示。

△排列多面体说明

在这一过程后，可以发现对于r(θ)，若是θ出现微小“扰动”，就会导致线性程序跳转到另外一个排序，使得r(θ)不连续。

也就意味着导数要么为null，要么就是“未定义”，这就阻碍了梯度反向传播。

为了解决上述的问题，就需要对排序和排名运算符，进行有效可计算的近似设计。

谷歌大脑团队提出的方法，就是通过在线性规划公式中引入强凸正则化来实现这一目标。

这就让它们转换成高效可计算的投影算子(projection operator)，可微分，且服从于形式分析(formal analysis)。

在投影到排列多面体之后，可以根据这些投影来定义软排序(soft sorting)和软排名(soft ranking)操作符。

△软排序和软排名操作符

在此基础上，要想完成快速计算和微分，一个关键步骤就是将投影简化为保序优化 (isotonic optimization)。

接下来是将保序优化进行微分，此处采用的是雅可比矩阵(Jacobian)，因为它简单的块级结构，使得导数很容易分析。

而后，结合命题3和引理2，可以描述投影到排列多面体上的雅可比矩阵。

需要强调的是，与保序优化的雅可比矩阵不同，投影的雅可比矩阵不是块对角的，因为我们需要对它的行和列进行转置。

最终，可以用O(n)时间和空间中的软算子雅可比矩阵相乘。

实验结果

研究人员在CIFAR-10和CIFAR-100数据集上进行了实验。

实验使用的CNN，包含4个具有2个最大池化层的Conv2D，RelU激活，2个完全连接层；ADAM优化器的步长恒定为10-4，k=1。

与之比较的是O(Tn2)的OT方法，以及O(n2)的All-pairs方法。

△rQ及rE为新算法

结果表明，在CIFAR-10和CIFAR-100上，新算法都达到了与OT方法相当的精度，并且速度明显更快。

在CIFAR-100上训练600个epoch，OT耗费的时间为29小时，rQ为21小时，rE为23小时，All-pairs为16小时。在CIFAR-10上结果差不多。

在验证输入尺寸对运行时间的影响时，研究人员使用的是64GB RAM的6核Intel Xeon W-2135，以及GeForce GTX 1080Ti。

禁用反向传播的情况下，进行1个batch的计算，OT和All-pairs分别在n=2000和n=3000的时候出现内存不足。

启用反向传播时，OT和All-pairs分别在n=1000和n=2500的时候出现内存不足。

开启新的可能性

曾就职于谷歌、NASA的机器学习工程师Brad Neuberg认为，从机器学习的角度来说，快速可微分排序、排名算法看上去十分重要。

而谷歌的这一新排序算法，也在reddit和hacker news等平台上引起了热烈的讨论。

有网友对其带来的“新可能性”做出了更为详细的讨论：

我想，可微分排序生成的梯度信息量更大，使得梯度下降的速度更快，从而能够进一步提升训练速度。

我认为，这意味着某些基于排名的指标，以后可以用可微分的形式来表示。也就是说，神经网络可以轻松地针对这些结果直接进行优化。

对于谷歌而言，这很显然会应用于网络搜索，以及诸如标签分配之类的东西问题。

也有网友指出，虽然该算法并不是第一个解决了排序不可微问题的方法，但它的效率无疑更高。

传送门

论文：https://arxiv.org/pdf/2002.08871.pdf

讨论：https://news.ycombinator.com/item?id=22393790https://www.reddit.com/r/MachineLearning/comments/f85yp4/r_fast_differentiable_sorting_and_ranking/