应用场景-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为4磅，现有如下物品：

1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2. 要求装入的物品不能重复

动态规划算法介绍

1. 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法。
2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3. 与分治算法不同的是，适用于动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是相互独立的。(即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解)。
4. 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解。

背包问题分析

背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选取物品放入背包是物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)。

这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个，而无限背包可以转化为01背包。

思路分析

算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包的最大值。则有下面的结果：

1. v[i][0] = v[0][j] = 0;//表示填入表第一行和第一列是0
2. 当w[i]>j时：v[i][j]=v[i-1][j];//当准备加入的新增的商品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略。
3. 当j>=w[i]时：v[i][j]=max{v[i-1][j],v[i]+v[i-1][j-w[i]]};//当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量，装入的方式：v[i-1][j]：就是上一个单元格的装入的最大值v[i]：当前商品的价值v[i-1][j-w[i]]：装入i-1商品，到剩余空间[j-w[i]的最大值

填表的过程

代码案例

package com.xie.algorithm; 
 
import java.util.Arrays; 
 
public class KnapsackProblem { 
    public static void main(String[] args) { 
        //物品的重量 
        int[] w = {1, 4, 3}; 
        //物品的价值 
        int[] val = {1500, 3000, 2000}; 
        //背包的容量 
        int m = 4; 
        //物品的个数 
        int n = val.length; 
 
        //为了记录商品放入的情况，定义一个二维数组 
        int[][] path = new int[n + 1][m + 1]; 
 
        //创建二维数组 
        //v[i][j]表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包的最大值 
        int[][] v = new int[n + 1][m + 1]; 
 
        //初始化第一行和第一列 
        //将第一列设置为0 
        for (int i = 0; i < v.length; i++) { 
            v[i][0] = 0; 
        } 
        //将第一行设置为0 
        for (int i = 0; i < v[0].length; i++) { 
            v[0][i] = 0; 
        } 
 
        //根据前面的公式来动态规划处理 
        //不处理第一行 
        for (int i = 1; i < v.length; i++) { 
            //不处理第一列 
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++) { 
                //公式 
                //因为我们的程序 i  是从1开始的，因此原来的公式中的w[i]修改成w[i-1] 
                if (w[i - 1] > j) { 
                    v[i][j] = v[i - 1][j]; 
                } else { 
                    //因为我们的程序 i  是从1开始的 
                    //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]); 
                    if (v[i - 1][j] > val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) { 
                        v[i][j] = v[i - 1][j]; 
                    } else { 
                        v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]; 
                        //把当前的情况记录到path 
                        path[i][j] = 1; 
                    } 
                } 
            } 
        } 
 
        for (int i = 0; i < v.length; i++) { 
            System.out.println(Arrays.toString(v[i])); 
        } 
 
        int i = path.length - 1; 
        int j = path[0].length - 1; 
        while (i > 0 && j > 0) { 
            if (path[i][j] == 1) { 
                System.out.printf("第%d个商品放入背包n", i); 
                j -= w[i - 1]; 
            } 
            i--; 
        } 
    } 
 
    /** 
     * [0, 0, 0, 0, 0] 
     * [0, 1500, 1500, 1500, 1500] 
     * [0, 1500, 1500, 1500, 3000] 
     * [0, 1500, 1500, 2000, 3500] 
     * 第3个商品放入背包 
     * 第1个商品放入背包 
     */ 
}