今天，我们只关注机器学习到线性回归这条线上的概念。别的以后再说。为了让大家听懂，我这次也不查维基百科了，直接按照自己的理解用大白话说，可能不是很严谨。

机器学习就是机器可以自己学习，而机器学习的方法就是利用现有的数据和算法，解出算法的参数。从而得到可以用的模型。

监督学习就是利用已有的数据（我们叫X，或者特征），和数据的标注（我们叫Y），找到x和y之间的对应关系，或者说是函数f。

回归分析是一种因变量为连续值得监督学习。

线性回归是一种x和y之间的关系为线性关系的回归分析。$y=a_1x_1+a_2x_2+b$

一元线性回归说的是，自变量x是一个纯量（scalar）。scalar类型的变量，是不可再分的。

我希望你能说明白这些概念的关系。不过，我自己也是花了很久才了解清楚的。如果你没听明白，也没关系。毕竟都是概念，没什么实际的例子，也很难理解。等你看完了本文，了解了一元线性回归。回过头来再看这些概念，就能更好的理解了。

这里，我们的问题是，找出算法工程师和程序员之间的工资关系。这里直接给出北京，上海，杭州，深圳，广州的工资。

把他们用图打出来看看他们之间的关系。

由图可见，他们之间大致是一个线性关系，这时候，我们就可以试着用一元线性回归去拟合（fit）他们之间的关系。

以下是公式
$y=ax+b+ε$

y 为应变量 dependent variable
x 为自变量 independent variable
a 为斜率 coeffient
b 为截距 intercept
ε （读作epsilon）为误差，正态分布
线性回归的目标是，找到一组a和b，使得ε最小
$hat{y}=ax+b$

$hat{y}$

下图可以更好的帮助你理解。

（图片来自互联网）

黑色的点为观测样本，即$y=ax+b+ε$

x红色的线为回归线，即$hat{y}=ax+b$

x蓝色的线段为误差，即$ε=y-hat{y}$

在机器学习中，很多时候，我们需要找到一个损失函数。有了损失函数，我们就可以经过不断地迭代，找到损失函数的全局或者局部最小值（或者最大值）。损失函数使得我们的问题转化成数学问题，从而可以用计算机求解。在线性回归中，我们用方差作为损失函数。我们的目标是使得方差最小。

下面的表格解释了什么是方差。

其中SSE(Sum of Square Error)是总的方差，MSE（Mean Square Error）是方差的平均值。

而这里的损失函数，用的是0.5 * MSE。即：

$J(a,b)=frac{1}{2n}sum_{i=0}^{n}(y_i−hat{y}_i )^2$

记住，这里的损失函数是针对参数a和b的函数，y和$hat{y}$

有了损失函数，我们还需要一个方法，使得我们可以找到这个损失函数的最小值。机器学习把他叫做优化方法。这里的优化方法，就是算损失的方向。或者说，当我的参数变化的时候，我的损失是变大了还是变小了。如果a变大了，损失变小了。那么，说明a增大这个方向是正确的，我们可以朝着这个方向继续小幅度的前进。反之，就应该考虑往相反的方向试试看。因为每个参数（a和b）都是一维的，所以，所谓的方向，无非就是正负符号。

这里，我们需要用偏微分的方法，得到损失函数的变化量。即：

$frac{partial J}{partial a} = frac{partial frac{1}{2n}sum_{i=0}^{n}(y_i−hat{y}_i )^2}{partial a}$

$frac{partial J}{partial b} = frac{partial frac{1}{2n}sum_{i=0}^{n}(y_i−hat{y}_i )^2}{partial a}$