转载于：http://blog.csdn.net/qq_33951180/article/details/52484080

一、斐波那契数列
由于斐波纳挈数列是以兔子的繁殖引入的，因此也叫“兔子数列”。它指的是这样一个数列：0,1,1,2,3,5,8,13……从这组数可以很明显看出这样一个规律：从第三个数开始，后边一个数一定是在其之前两个数的和。在数学上，斐波纳挈数列可以以这样的公式表示：
F(0) = 0
F(1) = 1 F(n) = F(n-1) + F(n-2),(n>=2)

二、斐波那契数列的实现
既然该数列已经有这样一个规律：F(n) = F(n-1) + F(n-2)；那么我们很容易就能想到用递归的方法，这样写出来的代码比较简洁

int fibo1(int n)
{
    assert(n >= 0);
    if(n == 1 || n == 0) return n;
    return fibo1(n - 1) + fibo1(n - 2);
}

当然，我们也可以这样写：

int fibo1(int n)
{
    assert(n >= 0);
    return n < 2 ? n : fibo1(n - 1) + fibo1(n - 2);
}

这样的递归算法虽然只有简单的几行，但是效率却很低。为什么呢？我们可以分析其递归调用的时间复杂度：
时间复杂度 —– O(2^N)
由于使用递归时，其执行步骤是：要得到后一个数之前必须先计算出之前的两个数，即在每个递归调用时都会触发另外两个递归调用，例如：要得到F(10)之前得先得到F(9)、F(8)，那么得到F(9)之前得先得到F(8)、F(7)……如此递归下去

从上图我们可以看出，这样的计算是以 2 的次方在增长的。除此之外，我们也可以看到，F(8)和F(7)的值都被多次计算，如果递归的深度越深，那么F(8)和F(7)的值会被计算更多次，但是这样计算的结果都是一样的，除了其中之一外，其余的都是浪费，可想而知，这样的开销是非常恐怖的！

所以，如果在时间复杂度和空间复杂度都有要求的话，我们可以用以下两种非递归算法来实现：
@@：时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(N)
创建一个数组，每次将前两个数相加后直接赋给后一个数。这样的话，有N个数就创建一个包含N个数的一维数组，所以空间复杂度为O(N)；由于只需从头向尾遍历一边，时间复杂度为O(N)

int* fibo2(int n)
{
    assert(n >= 0);
    int* pArr = new int[n + 1];
    pArr[0] = 0;
    pArr[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        pArr[i] = pArr[i - 1] + pArr[i - 2]; 
    }
    return pArr;
}

@@：时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)
借助两个变量 nFirst 和 nSecond ，每次将 nFirst 和 nSecond 相加后赋给 nThird，再将 nSecond 赋给 nFirst ，nThird赋给 nSecond ，如此循环。

int fibo3(int n)
{
    assert(n >= 0);
    int nFirst = 0;
    int nSecond = 1;
    int nThird = 0;
    for(int i = 2 ; i <= n; i++){
        nThird = nFirst + nSecond;
        nFirst = nSecond;
        nSecond = nThird;
    }
    return nThird;
}

测试

int main()
{
    int n;
    cout << "请输入数列项：";
    cin >> n;
    cout << "斐波那契数列前" << n << "项如下" << endl;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        cout << fibo1(i) << "t";
    }
    cout << endl;
    int* pArr = fibo2(n);
    for(int i = 0; i < n; i++){
        cout << pArr[i] << "t";
    }
    delete[] pArr; pArr = NULL;
    cout << endl;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        cout << fibo3(i) << "t";
    }
    cout << endl;

    system("pause");

    return 0;
}