一、 理论依据
水波的物理学模型便是理论依据。水波有如下特性：
扩散：水波总是从被扰动的中心向外扩散。在水波扩散过程中每个点都在得到能量后以自己为中心震动，并向四周传播能量。之所以从干扰点向外扩散，是因为内部的各点能量互相抵消而看不到震荡。重要的是，每个点都在以自己为中心进行震荡，并向四周扩散能量。
衰减：水波在传播过程中能量会逐渐的衰减，因为水的震荡是有阻尼的。
折射：由于水波表面各处有不同程度的倾斜，由于折射，将会看到水底景物的不同程度的偏移，看起来是变形的。观察点正下方的景物由于折射偏移，开起来并不在正下方。
反射：由于水波表面的凹凸不平，比起平静时期的水面，水面上各点反光程度将会不同程度的受到影响，从而改变了自己的亮度，颜色。
水波还有衍射等特性。但是考虑问题的核心在于能量传递或者能量扩散。因为这是该模型的根源。
二、 约束条件
实现该算法的约束条件。
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约束条件 |
描述 |
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实时渲染 |
由于该算法要实时渲染水波，所以只能近似推导，而且不能使用三角函数、除法等低效运算，以保证速度。 |
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三、 设计方案
用两个数组来模拟水池。数组大小：水池高度 * 水池宽度。其中一个数组存储水池的上一个状态，另一个用来存储当前用上一个状态正在计算的下一个状态。计算完毕，把新状态渲染出来；然后新的状态就变为“上一个状态”的水池，用它来计算更新的水池状态，数据保存在原来的第一个水池中。两个水池交替的成为新、旧状态池。从而，虽着实间的推移，能量就会被扩散开来。
为了保证执行效率，水波的扩散、折射等均用简化后的模型代替，以使算法成为线性简单的；对于里面的乘法、除法运算尽量采用2的幂，可以通过移位运算快速实现。
四、 数学推理与算法设计
根据以上设计，就可以建立模型进行数学推理和算法设计。
上述两个矩形代表了两个数组，即两个水池状态。令水池宽度为W(W=w+1)，水池高度为H(H=h+1)，假设点A的坐标为 （I，J），那么A点对应的数组下标为：（J * W）+ I 。 O点（0，0）对应buf[0]，对角线B（w, h）代表buf[W * H – 1]，即数组的最后一个元素。
计算波幅的公式推导：
如图所示，假设任意一点x0处下一个时刻的能量能根据当前状态下周围的12个点和x0自身的振幅推算出来。即x0在下一个时刻的振幅要由自身的当前振幅和受周围12个点的能量扩散得到。并且假设这12个点影响x0的程度都一样，这个模型已经得到很大的简化。可以得到：
x0’ = a * ( x1 + x2 + x3 + … + x9 + y1 + y2 + y3 + y4 ) + b * x0
a, b为待定系数，x0’为下一个时刻的振幅，其余为当前振幅。
如果假设水的阻尼系数为0，那么能量会守恒。即，所有点的能量总和在前后时刻的状态下保持不变。x0’ + x1’ + … + xn’ = x0 + x1 + … + xn
因为x0受周围12个点的影响，反过来也就是说周围12个点x1, x2, …. y4都要受x0的影响，x0总共要出现12次，其余都一样（忽略边缘）。
那么 ( 12a + b) * x0 + (12a + b) * x1 + ….. + (12a + b) * xn = x0 + x1 + … + xn
推导出：12a + b = 1的结果。
找出一个解： a = 1/4，b = -2，这样1/4可以移位得到，效率很高。
所以得到需要的数学公式：x0’ = (x1 + x2 + … + y4) / 4 – 2 * x0
但是实际上这组解不准确，测试中也出现了问题。因为按照事实，x0点本身对下一个时刻的能量影响不可能大于x0本身，只能等于它本身。所以，只能取b = -1，绝对值为1。这样，得到a = 1/6，
即x0’ = (x1 + x2 + … + y4) /6 – x0
经过测试，这组解效果最好，说明跟实际情况接近。
考虑阻尼：
真正的水是有阻尼的，否则，上面的模型产生的震动将永远进行下去。所以需要考虑一个阻尼，让每个点在后续的时刻能量比理想值有所衰减。
即x0’ = (x1 + x2 + … + y4) /6 – x0 然后有 x0’ = x0 – x0 * 阻尼因子
考虑折射：
要进行精确的计算不现实，因为当前的设计方案无法模拟真正的折射。现在进行线性逼近模拟就可以了。水面越倾斜，折射越厉害，即水下的景物看上去偏移越厉害。所以，用谋点的前后两点的波幅差作为该点的折射偏移量。
对于点x0来说，在x和y两个方向的折射偏移量分别为：
xoff = x7 – x5
yoff = x3 – x1
假设x0点的坐标为(I，J)，那么x0点上应该显示的水底景物为 (I + x0ff， J + yoff)位置正下方的景物点。
考虑波源：
为了比较逼真的模拟波源，考虑水面受到扰动的时候并不是一个点上受到了扰动，而是在一个比较小的范围内受到了扰动。所以考虑一个扰动半径R，如果x0点上被扰动，那么以x0为圆心，半径为R的区域内的点都会不同程度的获得能量进行震动。这个能量从圆心向外衰减，即x0点获得最大的能量，距 x0越远的点获得越少的能量。
现在根据下面的图示来进行数学推导近似，以获得比较逼真的扰动效果。
假设，圆心为A，距离为d的B点（d < R）获得的能量为：
Eb = Ea – Ea * (R – d) / R = Ea * (1 – d / R)
上面这个简单的近似公式经过测试，能逼真的模拟波源。
考虑光反射：
考虑实际情况，如果水面上出现水波，那么由于水面的凹凸不平，各点对光的反射与平静的水面相比将会发生不同程度的变化。具体与很多因素有关，不可能进行精确的计算。与前面一样，这里用简单化的模型进行线性近似计算。
对于水面上一点x0（I，J），对应到数组buf[J*w + I]，该点的能量假定为E0，那么x0点上显示的景物点取得以后，得到颜色分量 r，g，b
现在考虑反射后得到新的颜色分量：
r = r + E0 g = g + E0 b = b + E0
如果超出0—255的范围，则进行修正。这样就得到一个效果，就是根据能量的不同，水面上有些点的亮度得到加强，而有些点的亮度得到削弱，由于能量按照波形分布，最终得到水波的波形效果。
（注：这里的反射只考虑了亮度变化，而没有考虑由于环境光而产生的颜色变化）
一、 验证
在使用了背景图片的情况下，水的折射就可以单独成波，没有考虑反射也能看到效果。因为背景图像按照波能偏移显示，得到水波效果。
在考虑了反射的情况下（无论是否考虑了折射），不论是否使用了背景图像，都会有水波效果，因为水面各点的亮度按照波能进行加强和减弱。当然，两者考虑的情况下水波最为逼真。
这就相当于对一池清水，没有反射光的时候就算有扰动，也看不到波形；而如果有水底背景，只要有折射存在，也能感到有水波存在。形成水波最主要的还是反射因素。
