在“一文彻底搞懂BP算法：原理推导+数据演示+项目实战（上篇）”中我们详细介绍了BP算法的原理和推导过程，并且用实际的数据进行了计算演练。在下篇中，我们将自己实现BP算法（不使用第三方的算法框架），并用来解决鸢尾花分类问题。这里建议读者结合上下两篇文章一起看。

图1 鸢尾花

鸢尾花数据集如图2所示，总共有三个品种的鸢尾花（setosa、versicolor和virginica），每个类别50条样本数据，每个样本有四个特征（花萼长度、花萼宽度、花瓣长度以及花瓣宽度）。

图2 鸢尾花数据集

首先我们导入需要的包：

from csv import readerimport numpy as npfrom sklearn.preprocessing import MinMaxScalerimport randomimport matplotlib.pyplot as pltimport mathimport reader
import numpy as np
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler
import random
import matplotlib.pyplot as plt
import math

接下来我们实现一个数据集的加载和预处理的函数“load_dataset”：

def load_dataset(dataset_path, n_train_data): """加载数据集，对数据进行预处理，并划分训练集和验证集 :param dataset_path: 数据集文件路径 :param n_train_data: 训练集的数据量 :return: 划分好的训练集和验证集 """ dataset = [] label_dict = {'Iris-setosa': 0, 'Iris-versicolor': 1, 'Iris-virginica': 2} with open(dataset_path, 'r') as file: # 读取CSV文件，以逗号为分隔符 csv_reader = reader(file, delimiter=',') for row in csv_reader: # 将字符串类型的特征值转换为浮点型 row[0:4] = list(map(float, row[0:4])) # 将标签替换为整型 row[4] = label_dict[row[4]] # 将处理好的数据加入数据集中 dataset.append(row) # 对数据进行归一化处理 dataset = np.array(dataset) mms = MinMaxScaler() for i in range(dataset.shape[1] - 1): dataset[:, i] = mms.fit_transform(dataset[:, i].reshape(-1, 1)).flatten() # 将类标转为整型 dataset = dataset.tolist() for row in dataset: row[4] = int(row[4]) # 打乱数据集 random.shuffle(dataset) # 划分训练集和验证集 train_data = dataset[0:n_train_data] val_data = dataset[n_train_data:] return train_data, val_data
"""加载数据集，对数据进行预处理，并划分训练集和验证集
 :param dataset_path: 数据集文件路径
 :param n_train_data: 训练集的数据量
 :return: 划分好的训练集和验证集
 """
 dataset = []
 label_dict = {'Iris-setosa': 0, 'Iris-versicolor': 1, 'Iris-virginica': 2}
with open(dataset_path, 'r') as file:
# 读取CSV文件，以逗号为分隔符
 csv_reader = reader(file, delimiter=',')
for row in csv_reader:
# 将字符串类型的特征值转换为浮点型
 row[0:4] = list(map(float, row[0:4]))
# 将标签替换为整型
 row[4] = label_dict[row[4]]
# 将处理好的数据加入数据集中
 dataset.append(row)

# 对数据进行归一化处理
 dataset = np.array(dataset)
 mms = MinMaxScaler()
for i in range(dataset.shape[1] - 1):
 dataset[:, i] = mms.fit_transform(dataset[:, i].reshape(-1, 1)).flatten()

# 将类标转为整型
 dataset = dataset.tolist()
for row in dataset:
 row[4] = int(row[4])
# 打乱数据集
 random.shuffle(dataset)

# 划分训练集和验证集
 train_data = dataset[0:n_train_data]
 val_data = dataset[n_train_data:]

return train_data, val_data

在“load_dataset”函数中，我们实现了数据集的读取、数据的归一化处理以及对数据集进行了“shuffle”操作等，最后函数返回了划分好的训练集和验证集。

实现数据预处理之后，接下来我们开始实现BP算法的关键部分（如果读者对算法原理有不清楚的地方，可以查看“一文彻底搞懂BP算法：原理推导+数据演示+项目实战（上篇）”）。首先我们实现神经元的计算部分、激活函数以及激活函数的求导部分。

def fun_z(weights, inputs): """计算神经元的输入：z = weight * inputs + b :param weights: 网络参数（权重矩阵和偏置项） :param inputs: 上一层神经元的输出 :return: 当前层神经元的输入 """ bias_term = weights[-1] z = 0 for i in range(len(weights)-1): z += weights[i] * inputs[i] z += bias_term return zdef sigmoid(z): """激活函数(Sigmoid)：f(z) = Sigmoid(z) :param z: 神经元的输入 :return: 神经元的输出 """ return 1.0 / (1.0 + math.exp(-z))def sigmoid_derivative(output): """Sigmoid激活函数求导 :param output: 激活函数的输出值 :return: 求导计算结果 """ return output * (1.0 - output)
"""计算神经元的输入：z = weight * inputs + b
 :param weights: 网络参数（权重矩阵和偏置项）
 :param inputs: 上一层神经元的输出
 :return: 当前层神经元的输入
 """
 bias_term = weights[-1]
 z = 0
for i in range(len(weights)-1):
 z += weights[i] * inputs[i]
 z += bias_term
return z


def sigmoid(z):
"""激活函数(Sigmoid)：f(z) = Sigmoid(z)
 :param z: 神经元的输入
 :return: 神经元的输出
 """
return 1.0 / (1.0 + math.exp(-z))


def sigmoid_derivative(output):
"""Sigmoid激活函数求导
 :param output: 激活函数的输出值
 :return: 求导计算结果
 """
return output * (1.0 - output)

函数“fun_z”实现了公式“z = weight * inputs + b”，其中inputs是上一层网络的输出，weight是当前层的权重矩阵，b是当前层的偏置项，计算得到的z是当前层的输入。

函数“sigmoid”是Sigmoid激活函数的实现，将z作为激活函数的输入，计算得到当前层的输出，并传递到下一层。  

函数“sigmoid_derivative”是Sigmoid函数求导的实现，在误差反向传播的时候需要用到。

接下来我们实现BP网络的前向传播：

def forward_propagate(network, inputs): """前向传播计算 :param network: 神经网络 :param inputs: 一个样本数据 :return: 前向传播计算的结果 """ for layer in network: # 循环计算每一层 new_inputs = [] for neuron in layer: # 循环计算每一层的每一个神经元 z = fun_z(neuron['weights'], inputs) neuron['output'] = sigmoid(z) new_inputs.append(neuron['output']) inputs = new_inputs return inputs
"""前向传播计算
 :param network: 神经网络
 :param inputs: 一个样本数据
 :return: 前向传播计算的结果
 """
for layer in network: # 循环计算每一层
 new_inputs = []
for neuron in layer: # 循环计算每一层的每一个神经元
 z = fun_z(neuron['weights'], inputs)
 neuron['output'] = sigmoid(z)
 new_inputs.append(neuron['output'])
 inputs = new_inputs
return inputs

前向计算的过程比较简单，和我们在上篇中介绍的计算过程一致。稍微麻烦一点的是误差反向传播的计算：

def backward_propagate_error(network, actual_label): """误差进行反向传播 :param network: 神经网络 :param actual_label: 真实的标签值 :return: """ for i in reversed(range(len(network))): # 从最后一层开始计算误差 layer = network[i] errors = list() if i != len(network)-1: # 不是输出层 for j in range(len(layer)): # 计算每一个神经元的误差 error = 0.0 for neuron in network[i + 1]: error += (neuron['weights'][j] * neuron['delta']) errors.append(error) else: # 输出层 for j in range(len(layer)): # 计算每一个神经元的误差 neuron = layer[j] errors.append(actual_label[j] - neuron['output']) # 计算误差项 delta for j in range(len(layer)): neuron = layer[j] neuron['delta'] = errors[j] * sigmoid_derivative(neuron['output'])
"""误差进行反向传播
 :param network: 神经网络
 :param actual_label: 真实的标签值
 :return:
 """
for i in reversed(range(len(network))): # 从最后一层开始计算误差
 layer = network[i]
 errors = list()
if i != len(network)-1: # 不是输出层
for j in range(len(layer)): # 计算每一个神经元的误差
 error = 0.0
for neuron in network[i + 1]:
 error += (neuron['weights'][j] * neuron['delta'])
 errors.append(error)
else: # 输出层
for j in range(len(layer)): # 计算每一个神经元的误差
 neuron = layer[j]
 errors.append(actual_label[j] - neuron['output'])
# 计算误差项 delta
for j in range(len(layer)):
 neuron = layer[j]
 neuron['delta'] = errors[j] * sigmoid_derivative(neuron['output'])

误差反向传播过程中，我们首先需要根据模型的输出来计算得到误差，然后计算输出层的误差项。得到输出层的误差项之后，我们就可以根据上篇中介绍的“第k层神经元的误差项是由第k+1层的误差项乘以第k+1层的权重，再乘以第k层激活函数的导数得到”来计算其它层的误差项。

在计算得到每一层的误差项之后，我们根据上篇中介绍的权重矩阵和偏置项的更新公式来更新参数：   

def update_parameters(network, row, l_rate): """利用误差更新神经网络的参数（权重矩阵和偏置项） :param network: 神经网络 :param row: 一个样本数据 :param l_rate: 学习率 :return: """ for i in range(len(network)): inputs = row[:-1] if i != 0: # 获取上一层网络的输出 inputs = [neuron['output'] for neuron in network[i - 1]] for neuron in network[i]: # 更新权重矩阵 for j in range(len(inputs)): neuron['weights'][j] += l_rate * neuron['delta'] * inputs[j] # 更新偏置项 neuron['weights'][-1] += l_rate * neuron['delta']
"""利用误差更新神经网络的参数（权重矩阵和偏置项）
 :param network: 神经网络
 :param row: 一个样本数据
 :param l_rate: 学习率
 :return:
 """
for i in range(len(network)):
 inputs = row[:-1]
if i != 0: # 获取上一层网络的输出
 inputs = [neuron['output'] for neuron in network[i - 1]]
for neuron in network[i]:
# 更新权重矩阵
for j in range(len(inputs)):
 neuron['weights'][j] += l_rate * neuron['delta'] * inputs[j]
# 更新偏置项
 neuron['weights'][-1] += l_rate * neuron['delta']

到这里所有的关键部分我们都已经实现了，接下来我们实现网络的初始化以及网络的训练部分，首先实现网络的初始化：

def initialize_network(n_inputs, n_hidden, n_outputs): """初始化BP网络（初始化隐藏层和输出层的参数：权重矩阵和偏置项） :param n_inputs: 特征列数 :param n_hidden: 隐藏层神经元个数 :param n_outputs: 输出层神经元个数，即分类的总类别数 :return: 初始化后的神经网络 """ network = list() # 隐藏层 hidden_layer = [{'weights': [random.random() for i in range(n_inputs + 1)]} for i in range(n_hidden)] network.append(hidden_layer) # 输出层 output_layer = [{'weights': [random.random() for i in range(n_hidden + 1)]} for i in range(n_outputs)] network.append(output_layer) return network
"""初始化BP网络（初始化隐藏层和输出层的参数：权重矩阵和偏置项）
 :param n_inputs: 特征列数
 :param n_hidden: 隐藏层神经元个数
 :param n_outputs: 输出层神经元个数，即分类的总类别数
 :return: 初始化后的神经网络
 """
 network = list()
# 隐藏层
 hidden_layer = [{'weights': [random.random() for i in range(n_inputs + 1)]} for i in range(n_hidden)]
 network.append(hidden_layer)
# 输出层
 output_layer = [{'weights': [random.random() for i in range(n_hidden + 1)]} for i in range(n_outputs)]
 network.append(output_layer)
return network

这里我们初始化了一个两层神经网络（一个隐藏层和一个输出层）。在初始化参数的时候，我们将权重矩阵和偏置项放在了一个数组中（“weights”），数组的最后一个元素是偏置项，前面的元素是权重矩阵。

接下来我们实现模型的训练部分：

def train(train_data, l_rate, epochs, n_hidden, val_data): """训练神经网络（迭代n_epoch个回合） :param train_data: 训练集 :param l_rate: 学习率 :param epochs: 迭代的回合数 :param n_hidden: 隐藏层神经元个数 :param val_data: 验证集 :return: 训练好的网络 """ # 获取特征列数 n_inputs = len(train_data[0]) - 1 # 获取分类的总类别数 n_outputs = len(set([row[-1] for row in train_data])) # 初始化网络 network = initialize_network(n_inputs, n_hidden, n_outputs) acc = [] for epoch in range(epochs): # 训练epochs个回合 for row in train_data: # 前馈计算 _ = forward_propagate(network, row) # 处理一下类标，用于计算误差 actual_label = [0 for i in range(n_outputs)] actual_label[row[-1]] = 1 # 误差反向传播计算 backward_propagate_error(network, actual_label) # 更新参数 update_parameters(network, row, l_rate) # 保存当前epoch模型在验证集上的准确率 acc.append(validation(network, val_data)) # 绘制出训练过程中模型在验证集上的准确率变化 plt.xlabel('epochs') plt.ylabel('accuracy') plt.plot(acc) plt.show() return network
"""训练神经网络（迭代n_epoch个回合）
 :param train_data: 训练集
 :param l_rate: 学习率
 :param epochs: 迭代的回合数
 :param n_hidden: 隐藏层神经元个数
 :param val_data: 验证集
 :return: 训练好的网络
 """
# 获取特征列数
 n_inputs = len(train_data[0]) - 1
# 获取分类的总类别数
 n_outputs = len(set([row[-1] for row in train_data]))
# 初始化网络
 network = initialize_network(n_inputs, n_hidden, n_outputs)

 acc = []
for epoch in range(epochs): # 训练epochs个回合
for row in train_data:
# 前馈计算
 _ = forward_propagate(network, row)
# 处理一下类标，用于计算误差
 actual_label = [0 for i in range(n_outputs)]
 actual_label[row[-1]] = 1
# 误差反向传播计算
 backward_propagate_error(network, actual_label)
# 更新参数
 update_parameters(network, row, l_rate)
# 保存当前epoch模型在验证集上的准确率
 acc.append(validation(network, val_data))
# 绘制出训练过程中模型在验证集上的准确率变化
 plt.xlabel('epochs')
 plt.ylabel('accuracy')
 plt.plot(acc)
 plt.show()

return network

我们总共训练了epochs个回合，这里我们使用随机梯度下降来优化模型，因此每次都用一个样本来更新参数。接下来我们实现一个函数用来验证模型的效果：

def validation(network, val_data): """测试模型在验证集上的效果 :param network: 神经网络 :param val_data: 验证集 :return: 模型在验证集上的准确率 """ # 获取预测类标 predicted_label = [] for row in val_data: prediction = predict(network, row) predicted_label.append(prediction) # 获取真实类标 actual_label = [row[-1] for row in val_data] # 计算准确率 accuracy = accuracy_calculation(actual_label, predicted_label) # print("测试集实际类标：", actual_label) # print("测试集上的预测类标：", predicted_label) return accuracy
"""测试模型在验证集上的效果
 :param network: 神经网络
 :param val_data: 验证集
 :return: 模型在验证集上的准确率
 """
# 获取预测类标
 predicted_label = []
for row in val_data:
 prediction = predict(network, row)
 predicted_label.append(prediction)
# 获取真实类标
 actual_label = [row[-1] for row in val_data]
# 计算准确率
 accuracy = accuracy_calculation(actual_label, predicted_label)
# print("测试集实际类标：", actual_label)
# print("测试集上的预测类标：", predicted_label)
return accuracy

训练过程中的每一个回合，我们都用模型对验证集进行一次预测，并将预测的结果保存，用来绘制训练过程中模型在验证集上的准确率的变化过程。准确率的计算以及使用模型进行预测的实现如下：

def accuracy_calculation(actual_label, predicted_label): """计算准确率 :param actual_label: 真实类标 :param predicted_label: 模型预测的类标 :return: 准确率（百分制） """ correct_count = 0 for i in range(len(actual_label)): if actual_label[i] == predicted_label[i]: correct_count += 1 return correct_count / float(len(actual_label)) * 100.0def predict(network, row): """使用模型对当前输入的数据进行预测 :param network: 神经网络 :param row: 一个数据样本 :return: 预测结果 """ outputs = forward_propagate(network, row) return outputs.index(max(outputs))
"""计算准确率
 :param actual_label: 真实类标
 :param predicted_label: 模型预测的类标
 :return: 准确率（百分制）
 """
 correct_count = 0
for i in range(len(actual_label)):
if actual_label[i] == predicted_label[i]:
 correct_count += 1
return correct_count / float(len(actual_label)) * 100.0


def predict(network, row):
"""使用模型对当前输入的数据进行预测
 :param network: 神经网络
 :param row: 一个数据样本
 :return: 预测结果
 """
 outputs = forward_propagate(network, row)
return outputs.index(max(outputs))

最后我们运行代码：

if __name__ == "__main__": file_path = './iris.csv' # 参数设置 l_rate = 0.2 # 学习率 epochs = 300 # 迭代训练的次数 n_hidden = 5 # 隐藏层神经元个数 n_train_data = 130 # 训练集的大小（总共150条数据，训练集130条，验证集20条） # 加载数据并划分训练集和验证集 train_data, val_data = load_dataset(file_path, n_train_data) # 训练模型 network = train(train_data, l_rate, epochs, n_hidden, val_data)"__main__":
 file_path = './iris.csv'

# 参数设置
 l_rate = 0.2 # 学习率
 epochs = 300 # 迭代训练的次数
 n_hidden = 5 # 隐藏层神经元个数
 n_train_data = 130 # 训练集的大小（总共150条数据，训练集130条，验证集20条）

# 加载数据并划分训练集和验证集
 train_data, val_data = load_dataset(file_path, n_train_data)
# 训练模型
 network = train(train_data, l_rate, epochs, n_hidden, val_data)

训练过程如图3所示：

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