一些基本概念

支持度：support(A=>B)=P(A并B)

置信度：confidence(A=>B)=P(B|A)

频繁k项集：如果项集I的支持度满足预定义的最小支持度阈值，则称I为频繁项集，包含k个项的项集称为k项集。

算法思想

Apriori算法是Agrawal和R. Srikant于1994年提出，为布尔关联规则挖掘频繁项集的原创性算法。通过名字可以看出算法基于这样一个事实：算法使用频繁项集性质的先验知识。apriori算法使用一种成为逐层搜索的迭代算法，其中k项集用于探索（k+1）项集。首先，通过扫描数据库，累计每个项的计数，并搜集满足最小支持度的项，找出频繁1项集的集合。该集合记为L1。然后，使用L1找出频繁2项集的集合L2，使用L2找出L3，如此下去，直到不能再找到频繁k项集。

可以想象，该算法基本思路计算复杂度是非常大的。为了提高频繁项集的产生效率，使用先验性质（频繁项集的所有非空子集也一定是频繁的；换句话说，若某个集合存在一个非空子集不是频繁项集，则该集合不是频繁项集）来压缩搜索空间。

如何在算法中使用先验性质？为了理解这一点，我们考察如何使用Lk-1找出Lk，其中k>=2。主要由两步构成：连接步和剪枝步。

连接步：为找出Lk，通过将Lk-1与自身相连接产生候选集k项集的集合。该候选集的集合记为Ck。设l1和l2是Lk-1中的项集。记号li[j]表示li的第j项（例如，l1[k-2]表示l1的倒数第2项）。为了有效实现，apriori算法假定事务或项集中的项按字典序排列。对于（k-1）项集li，这意味着把项排序，使得li[1]<li[2]<...<li[k-1]。连接Lk-1和Lk-1；其中Lk-1的元素是可连接的，如果它们前（k-2）项相同。即Lk-1的元素l1和l2是可连接的，如果（l1[1]=l2[1]）^（l1[2]=l2[2]）^...^（l1[k-2]=l2[k-2]）^（l1[k-1]<l2[k-1]）。条件l1[k-1]<l2[k-1]是简单保证不产生重复。连接l1和l2产生的结果项集是{l1[1],l1[2],...,l1[k-1],l2[k-1]}

剪枝步： CK是LK的超集，也就是说，CK的成员可能是也可能不是频繁的。通过扫描所有的事务（交易），确定CK中每个候选的计数，判断是否小于最小支持度计数，如果不是，则认为该候选是频繁的。为了压缩Ck,可以利用Apriori性质：任一频繁项集的所有非空子集也必须是频繁的，反之，如果某个候选的非空子集不是频繁的，那么该候选肯定不是频繁的，从而可以将其从CK中删除。（该步利用了标红的先验性质）

图例

伪代码

算法：Apriori
输入：D - 事务数据库；min_sup - 最小支持度计数阈值
输出：L - D中的频繁项集
方法：
     L1=find_frequent_1-itemsets(D); // 找出所有频繁1项集
     For(k=2;Lk-1!=null;k++){
        Ck=apriori_gen(Lk-1); // 产生候选，并剪枝
        For each 事务t in D{ // 扫描D进行候选计数
            Ct =subset(Ck,t); // 得到t的子集
            For each 候选c 属于 Ct
                         c.count++;
        }
        Lk={c属于Ck | c.count>=min_sup}
}
Return L=所有的频繁集；

Procedure apriori_gen(Lk-1:frequent(k-1)-itemsets)
      For each项集l1属于Lk-1
              For each项集 l2属于Lk-1
                       If((l1[1]=l2[1])&&( l1[2]=l2[2])&&…….
&& (l1[k-2]=l2[k-2])&&(l1[k-1]<l2[k-1])) then{
                   c=l1连接l2 //连接步：产生候选
                   if has_infrequent_subset(c,Lk-1) then
                       delete c; //剪枝步：删除非频繁候选
                   else add c to Ck;
                  }
          Return Ck;

Procedure has_infrequent_sub(c:candidate k-itemset; Lk-1:frequent(k-1)-itemsets)
        For each(k-1)-subset s of c
            If s不属于Lk-1 then
               Return true;
        Return false;

Java实现

该java代码基本上是严格按照伪代码的流程写的，比较容易理解。

package com.zhyoulun.apriori;

import java.util.ArrayList;
import java.util.HashMap;
import java.util.List;
import java.util.Map;
import java.util.Set;

public class Apriori2
{
	private final static int SUPPORT = 2; // 支持度阈值
	private final static double CONFIDENCE = 0.7; // 置信度阈值
	private final static String ITEM_SPLIT = ";"; // 项之间的分隔符
	private final static String CON = "->"; // 项之间的分隔符
	
	/**
	 * 算法主程序
	 * @param dataList
	 * @return
	 */
	public Map<String, Integer> apriori(ArrayList<String> dataList)
	{
		Map<String, Integer> stepFrequentSetMap = new HashMap<>();
		stepFrequentSetMap.putAll(findFrequentOneSets(dataList));
		
		Map<String, Integer> frequentSetMap = new HashMap<String, Integer>();//频繁项集
		frequentSetMap.putAll(stepFrequentSetMap);
		
		while(stepFrequentSetMap!=null && stepFrequentSetMap.size()>0)
		{
			Map<String, Integer> candidateSetMap = aprioriGen(stepFrequentSetMap);
			
			Set<String> candidateKeySet = candidateSetMap.keySet();
			
			//扫描D，进行计数
			for(String data:dataList)
			{
				for(String candidate:candidateKeySet)
				{
					boolean flag = true;
					String[] strings = candidate.split(ITEM_SPLIT);
					for(String string:strings)
					{
						if(data.indexOf(string+ITEM_SPLIT)==-1)
						{
							flag = false;
							break;
						}
					}
					if(flag)
						candidateSetMap.put(candidate, candidateSetMap.get(candidate)+1);
				}
			}
			
			//从候选集中找到符合支持度的频繁项集
			stepFrequentSetMap.clear();
			for(String candidate:candidateKeySet)
			{
				Integer count = candidateSetMap.get(candidate);
				if(count>=SUPPORT)
					stepFrequentSetMap.put(candidate, count);
			}
	
			// 合并所有频繁集
			frequentSetMap.putAll(stepFrequentSetMap);
		}
		
		return frequentSetMap;
	}
	
	/**
	 * find frequent 1 itemsets
	 * @param dataList
	 * @return
	 */
	private Map<String, Integer> findFrequentOneSets(ArrayList<String> dataList)
	{
		Map<String, Integer> resultSetMap = new HashMap<>();
		
		for(String data:dataList)
		{
			String[] strings = data.split(ITEM_SPLIT);
			for(String string:strings)
			{
				string += ITEM_SPLIT;
				if(resultSetMap.get(string)==null)
				{
					resultSetMap.put(string, 1);
				}
				else {
					resultSetMap.put(string, resultSetMap.get(string)+1);
				}
			}
		}
		return resultSetMap;
	}
	
	/**
	 * 根据上一步的频繁项集的集合选出候选集
	 * @param setMap
	 * @return
	 */
	private Map<String, Integer> aprioriGen(Map<String, Integer> setMap)
	{
		Map<String, Integer> candidateSetMap = new HashMap<>();
		
		Set<String> candidateSet = setMap.keySet();
		for(String s1:candidateSet)
		{
			String[] strings1 = s1.split(ITEM_SPLIT);
			String s1String = "";
			for(String temp:strings1)
				s1String += temp+ITEM_SPLIT;
			
			for(String s2:candidateSet)
			{
				String[] strings2 = s2.split(ITEM_SPLIT);
				
				
				boolean flag = true;
				for(int i=0;i<strings1.length-1;i++)
				{
					if(strings1[i].compareTo(strings2[i])!=0)
					{
						flag = false;
						break;
					}
				}
				if(flag && strings1[strings1.length-1].compareTo(strings2[strings1.length-1])<0)
				{
					//连接步：产生候选
					String c = s1String+strings2[strings2.length-1]+ITEM_SPLIT;
					if(hasInfrequentSubset(c, setMap))
					{
						//剪枝步：删除非频繁的候选
					}
					else {
						candidateSetMap.put(c, 0);
					}
				}
			}
		}
		
		return candidateSetMap;
	}
	
	/**
	 * 使用先验知识，判断候选集是否是频繁项集
	 * @param candidate
	 * @param setMap
	 * @return
	 */
	private boolean hasInfrequentSubset(String candidateSet, Map<String, Integer> setMap)
	{
		String[] strings = candidateSet.split(ITEM_SPLIT);
		
		//找出候选集所有的子集，并判断每个子集是否属于频繁子集
		for(int i=0;i<strings.length;i++)
		{
			String subString = "";
			for(int j=0;j<strings.length;j++)
			{
				if(j!=i)
				{
					subString += strings[j]+ITEM_SPLIT;
				}
			}
			
			if(setMap.get(subString)==null)
				return true;
		}
		
		return false;
	}
	
	/**
	 * 由频繁项集产生关联规则
	 * @param frequentSetMap
	 * @return
	 */
	public Map<String, Double> getRelationRules(Map<String, Integer> frequentSetMap)
	{
		Map<String, Double> relationsMap = new HashMap<>();
		Set<String> keySet = frequentSetMap.keySet();

		for(String key:keySet)
		{
			List<String> keySubset = subset(key);
			for(String keySubsetItem:keySubset)
			{
				//子集keySubsetItem也是频繁项
				Integer count = frequentSetMap.get(keySubsetItem);
				if(count!=null)
				{
					Double confidence = (1.0*frequentSetMap.get(key))/(1.0*frequentSetMap.get(keySubsetItem));
					if(confidence>CONFIDENCE)
						relationsMap.put(keySubsetItem+CON+expect(key, keySubsetItem), confidence);
				}
			}
		}
		
		return relationsMap;
	}
	
	/**
	 * 求一个集合所有的非空真子集
	 * 
	 * @param sourceSet
	 * @return
	 * 为了以后可以用在其他地方，这里我们不是用递归的方法
	 * 
	 * 参考：http://blog.163.com/xiaohui_1123@126/blog/static/3980524020109784356915/
	 * 思路：假设集合S（A,B,C,D），其大小为4，拥有2的4次方个子集，即0-15，二进制表示为0000，0001，...，1111。
	 * 对应的子集为空集，{D}，...，{A,B,C,D}。
	 */
	private List<String> subset(String sourceSet)
	{
		List<String> result = new ArrayList<>();
		
		String[] strings = sourceSet.split(ITEM_SPLIT);
		//非空真子集
		for(int i=1;i<(int)(Math.pow(2, strings.length))-1;i++)
		{
			String item = "";
			String flag = "";
			int ii=i;
			do
			{
				flag += ""+ii%2;
				ii = ii/2;
			} while (ii>0);
			for(int j=flag.length()-1;j>=0;j--)
			{
				if(flag.charAt(j)=='1')
				{
					item = strings[j]+ITEM_SPLIT+item;
				}
			}
			result.add(item);
		}
		
		return result;
	}
	
	/**
	 * 集合运算，A/B
	 * @param A
	 * @param B
	 * @return
	 */
	private String expect(String stringA,String stringB)
	{
		String result = "";
		
		String[] stringAs = stringA.split(ITEM_SPLIT);
		String[] stringBs = stringB.split(ITEM_SPLIT);
		
		for(int i=0;i<stringAs.length;i++)
		{
			boolean flag = true;
			for(int j=0;j<stringBs.length;j++)
			{
				if(stringAs[i].compareTo(stringBs[j])==0)
				{
					flag = false;
					break;
				}
			}
			if(flag)
				result += stringAs[i]+ITEM_SPLIT;
		}
		
		return result;
	}
	
	
	
	public static void main(String[] args)
	{
		ArrayList<String> dataList = new ArrayList<>();
		dataList.add("1;2;5;");
		dataList.add("2;4;");
		dataList.add("2;3;");
		dataList.add("1;2;4;");
		dataList.add("1;3;");
		dataList.add("2;3;");
		dataList.add("1;3;");
		dataList.add("1;2;3;5;");
		dataList.add("1;2;3;");
		
		System.out.println("=数据集合==========");
		for(String string:dataList)
		{
			System.out.println(string);
		}
		
		Apriori2 apriori2 = new Apriori2();
		
		System.out.println("=频繁项集==========");
		
		Map<String, Integer> frequentSetMap = apriori2.apriori(dataList);
		Set<String> keySet = frequentSetMap.keySet();
		for(String key:keySet)
		{
			System.out.println(key+" : "+frequentSetMap.get(key));
		}
		
		System.out.println("=关联规则==========");
		Map<String, Double> relationRulesMap = apriori2.getRelationRules(frequentSetMap);
		Set<String> rrKeySet = relationRulesMap.keySet();
		for (String rrKey : rrKeySet)
		{
			System.out.println(rrKey + "  :  " + relationRulesMap.get(rrKey));
		}
		
	}
}

计算结果

=数据集合==========
1;2;5;
2;4;
2;3;
1;2;4;
1;3;
2;3;
1;3;
1;2;3;5;
1;2;3;
=频繁项集==========
1;2; : 4
1;3; : 4
5; : 2
2;3; : 4
4; : 2
2;4; : 2
1;5; : 2
3; : 6
2; : 7
1; : 6
1;2;5; : 2
1;2;3; : 2
2;5; : 2
=关联规则==========
4;->2;  :  1.0
5;->1;2;  :  1.0
5;->1;  :  1.0
1;5;->2;  :  1.0
5;->2;  :  1.0
2;5;->1;  :  1.0

参考：

http://blog.csdn.net/zjd950131/article/details/8071414

http://www.cnblogs.com/zacard-orc/p/3646979.html

数据挖掘：概念与技术

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