Ode45及龙格-库塔算法
ODE45
ODE45函数描述: 求解非刚性微分方程 - 中阶方
ODE是Matlab专门用于解微分方程的功能函数。该求解器有变步长(variable-step)和定步长(fixed-step)两种类型。不同类型有着不同的求解器,其中ode45求解器属于变步长的一种,采用Runge-Kutta算法;其他采用相同算法的变步长求解器还有ode23。
ode45表示采用四阶-五阶Runge-Kutta算法,它用4阶方法提供候选解,5阶方法控制误差,是一种自适应步长(变步长)的常微分方程数值解法,其整体截断误差为(Δx)^5。解决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。
ode45是解决数值解问题的首选方法,若长时间没结果,应该就是刚性的,可换用ode15s试试。参考链接
关于Matlab中如何中具体使用语法参考页。MatlabODE45链接
数值分析中,龙格-库塔法(Runge-Kutta methods)是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。
经典四阶龙格库塔法
在各种龙格-库塔法当中有一个方法十分常用,以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格-库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初值信息,利用计算机仿真时应用,省去求解微分方程的复杂过程。
令初值问题表述如下。
- {displaystyle y'=f(t,y),quad y(t_{0})=y_{0}}
则,对于该问题的RK4由如下方程给出:
- {displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{h over 6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})}
其中
- {displaystyle k_{1}=fleft(t_{n},y_{n}right)}
- {displaystyle k_{2}=fleft(t_{n}+{h over 2},y_{n}+{h over 2}k_{1}right)}
- {displaystyle k_{3}=fleft(t_{n}+{h over 2},y_{n}+{h over 2}k_{2}right)}
- {displaystyle k_{4}=fleft(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}right)}
这样,下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均:
- k1是时间段开始时的斜率;
- k2是时间段中点的斜率,通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn + h/2的值;
- k3也是中点的斜率,但是这次采用斜率k2决定y值;
- k4是时间段终点的斜率,其y值用k3决定。
当四个斜率取平均时,中点的斜率有更大的权值:
- {displaystyle {mbox{slope}}={frac {k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}}{6}}.}
RK4法是四阶方法,也就是说每步的误差是h5阶,而总积累误差为h4阶。
注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。
显式龙格库塔法[编辑]
显式龙格-库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出
- {displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hsum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}
其中
- {displaystyle k_{1}=f(t_{n},y_{n}),,}
- {displaystyle k_{2}=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+a_{21}hk_{1}),,}
- {displaystyle k_{3}=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+a_{31}hk_{1}+a_{32}hk_{2}),,}
- {displaystyle vdots }
- {displaystyle k_{s}=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+a_{s1}hk_{1}+a_{s2}hk_{2}+cdots +a_{s,s-1}hk_{s-1}).}
(注意:上述方程在不同著述中有不同但却等价的定义)。
要给定一个特定的方法,必须提供整数s(级数),以及系数 aij(对于1 ≤ j < i ≤ s), bi(对于i = 1, 2, ..., s)和ci(对于i = 2, 3, ..., s)。这些数据通常排列在一个助记工具中,称为Butcher tableau(得名自John C. Butcher):
| 0 |
| {displaystyle c_{2}} | {displaystyle a_{21}} |
| {displaystyle c_{3}} | {displaystyle a_{31}} | {displaystyle a_{32}} |
| {displaystyle vdots } | {displaystyle vdots } | | {displaystyle ddots } |
| {displaystyle c_{s}} | {displaystyle a_{s1}} | {displaystyle a_{s2}} | {displaystyle cdots } | {displaystyle a_{s,s-1}} | |
| | {displaystyle b_{1}} | {displaystyle b_{2}} | {displaystyle cdots } | {displaystyle b_{s-1}} | {displaystyle b_{s}} |
龙格库塔法是自洽的,如果
- {displaystyle sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i} mathrm {for} i=2,ldots ,s.}
如果要求方法的精度为p阶,即截断误差为O(hp+1)的,则还有相应的条件。这些可以从截断误差本身的定义中导出。例如,一个2级2阶方法要求b1 + b2 = 1, b2c2 = 1/2, 以及b2a21 = 1/2。
例子
RK4法处于这个框架之内。其表为:
| 0 |
| 1/2 | 1/2 |
| 1/2 | 0 | 1/2 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | |
| | 1/6 | 1/3 | 1/3 | 1/6 |
然而,最简单的龙格-库塔法是(更早发现的)欧拉方法,其公式为{displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})}。这是唯一自洽的一级显式龙格库塔方法。相应的表为:
隐式龙格库塔方法
以上提及的显式龙格库塔法一般来讲不适用于求解刚性方程。这是因为显式龙格库塔方法的稳定区域被局限在一个特定的区域里。显式龙格库塔方法的这种缺陷使得人们开始研究隐式龙格库塔方法,一般而言,隐式龙格库塔方法具有以下形式:
- {displaystyle y_{n+1}=y_{n}+sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}
其中
- {displaystyle k_{i}=fleft(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+hsum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}right),quad i=1,ldots ,s.}
在显式龙格库塔方法的框架里,定义参数{displaystyle a_{ij}}的矩阵是一个下三角矩阵,而隐式龙格库塔方法并没有这个性质,这是两个方法最直观的区别:
- {displaystyle {begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&dots &a_{1s}\c_{2}&a_{21}&a_{22}&dots &a_{2s}\vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&dots &a_{ss}\hline &b_{1}&b_{2}&dots &b_{s}\end{array}}={begin{array}{c|c}mathbf {c} &A\hline &mathbf {b^{T}} \end{array}}}
需要注意的是,与显式龙格库塔方法不同,隐式龙格库塔方法在每一步的计算里需要求解一个线性方程组,这相应的增加了计算的成本。
参考
- George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 6.)
- Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
- William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.)
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