1 三次Beizer曲线方程介绍

Beizer曲线的一些特性这里不再赘述，大家可以去网上查看一些资料，很详细。最近用到轮廓拟合，所以用三次Beizer曲线效果还可以，有插值和近似拟合（插值就是曲线过点，近似拟合则不过点），就学习了一下。我是做的Beizer曲线插值，插值和近视拟合无非就是控制点选取不一样。
Beizer总方程为
$<![CDATA[sum P_{i}K_{i}^{n}(t)]]>$ (1)，
三次Beizer曲线方程：
$<![CDATA[B_{n}(t)=P_{0}(1-t)^{3}+3P_{1}t(1-t)^{2}+3P_{2}t^{2}(1-t)+P_{3}t^{3},tepsilon [0,1]]]>$ (2)，
这里的$<![CDATA[P_1]]>$和$<![CDATA[P_2]]>$就是所谓的控制点A、B点。关于控制点AB的求法很多种，我是采用参数设定法构造控制点，思路我是参考百度文库一篇文章，“确定控制点文章链接”。文章写的很详细，对于闭合轮廓的话就想象成一个循环，第0个点的前两个点为n-1和n-2，第n-1个点的后两个点为0和1，文章很好理解。对于参数a和b，通常都是0.25，但我看别人论文中有a=0.125，b=0.05，拟合出来的效果很接近真实曲线，所以我也是采用这个参数。

2 代码实现

上述讲了三次Beizer曲线方程，用在轮廓拟合中怎么实现呢。当然，你先得找到轮廓中的特征点，然后根据两个相邻的特征点拟合成一段三次Beizer曲线，控制点AB是借助周围几个点得到的。思路大概就是这样的。下面讲一下具体步骤。
###2.1 得到控制点AB
控制点AB方程在刚才那篇百度文科文章中有，所以直接根据那个方程来编写代码，下面是我求控制点AB的代码，很简单，大家有需要的可以参考。

//求得控制点AB
void ControlAB(double *Xi,double *Yi, double *Ai_x,double *Ai_y, double *Bi_x,double *Bi_y,int n, double a, double b,int boundType)
{
    if(boundType==1)
    {
        Ai_x[0]=Xi[0]+(Xi[1]-Xi[n-1])*a;
        Ai_y[0]=Yi[0]+(Yi[1]-Yi[n-1])*a;

        Bi_x[n-2]=Xi[n-1]-(Xi[0]-Xi[n-2])*b;
        Bi_y[n-2]=Yi[n-1]-(Yi[0]-Yi[n-2])*b;

        Ai_x[n-1]=Xi[n-1]+(Xi[0]-Xi[n-2])*a;
        Ai_y[n-1]=Yi[n-1]+(Yi[0]-Yi[n-2])*a;
        Bi_x[n-1]=Xi[0]-(Xi[1]-Xi[n-1])*b;
        Bi_y[n-1]=Yi[0]-(Yi[1]-Yi[n-1])*b;
    }
    for(int i=1;i<n-1;i++)
    {
        Ai_x[i]=Xi[i]+(Xi[i+1]-Xi[i-1])*a;
        Ai_y[i]=Yi[i]+(Yi[i+1]-Yi[i-1])*a;
    }
    for(int i=0;i<n-2;i++)
    {
        Bi_x[i]=Xi[i+1]-(Xi[i+2]-Xi[i])*b;
        Bi_y[i]=Yi[i+1]-(Yi[i+2]-Yi[i])*b;
    }
}

代码注意：代码不要瞎贴，这里有些自定义数组，Xi、Yi是点的x、y。

###2.2 拟合曲线生成与绘制
求得AB控制点，可以将$<![CDATA[P_1]]>$、$<![CDATA[P_2]]>$、A和B代入方程(2)中，得到$<![CDATA[P_1]]>$和$<![CDATA[P_2]]>$中间的一段三次Beizer曲线方程，就拟合出来了。这时需要看到效果。我用的是C++的MFC画出来的曲线，当然也可以Python，Python一搜有很多例子，网上可以荡到的。我画二维曲线用的是MFC，大家可以参考我的博客“MFC绘制二维曲线”，给个我实验拟合出来的闭合轮廓，其中参数a=0.125，b=0.05。
原轮廓
拟合轮廓

可以看到，拟合效果还是不错的。图中的小黑点是我给的特征点，MFC画出来就是这个样子。

3 总结

三次Beizer曲线拟合算法还是很简单的，主要是控制点的选取，还有最关键的特征点选取。特征点是最基本的。当然Beizer也有一些不足之处，对于非闭合轮廓的情况拟合情况不是很理想，这就需要其他的曲线拟合，我会再发一篇B样条曲线拟合算法的。