算法复杂度是指算法在编写成可执行程序后，运行时所需要的资源，资源包括时间资源和内存资源。

首先任何一个程序最重要是准确性，即要确保程序能正常运行，实现预期功能。
但是，任何一个有价值的程序除了确保能正常运行，还要确保尽量短的运行时间和尽量少的运行空间，使程序正确高效执行得到预期效果。这就涉及时间复杂度分析和（空间复杂度分析），通过分析程序算法的时间复杂度可以找出运行时间尽量短的算法。

对于一些数据处理比较少的简单程序，不同算法使程序运行时间不同，但由于数据处理量少，这种运行时间的差别可以忽略。但是在实际应用中，很多程序往往涉及相当大量的数据处理，这就会导致实现同一个功能的程序，用不同算法，运行时间差别很大。有些算法可能只要几秒，有些算法却要几天才能得到结果。这时候，时间复杂度的分析就显得必要。

1. 测试结果非常依赖测试环境
   测试环境中硬件的不同会对测试结果有很大的影响。比如，我们拿同样一份代码，分别在 Intel Core i9处理器和 Intel Core i3处理器来运行，肯定 i9比 i3处理器快的多，同样一份代码，在不同的机器上，执行的速度会有不同。
2. 测试接口受数据规模的影响很大
   以排序算法为例，同一个排序算法，待排序数据的有序度不一样，排序的执行时间就会有很大的差别。极端情况，如果数据已经是有序的，那排序算法的不需要做任何操作，执行时间就会很短，如果测试数据规模调小，测试结果可能无法真实地反应算法的性能，比如，对于小规模的数据排序，插入排序可能反倒会比快速排序要快！

所以，我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率。

分析一下如下代码：

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

从 CPU 角度拉看，这段代码的每一行都执行的类似的操作：读数据-运算-写数据。我们假设没喊代码的执行时间都一样，为 unit_time。在这个假设基础之上，这段代码总执行时间是多少呢？
第2、3行代码分别需要1个 unit_time 的执行时间，第4、5行都运行了 n 遍，所以需要2n*unit_time 的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是(2n+2)*unit_time。可以看出来。
所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。
按照这个分析思路，再来看看这段代码。

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1;
     for (; j <= n; ++j) {
       sum = sum +  i * j;
     }
   }
 }

我们还是同样假设每个语句的执行时间是 unit_time，那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢?

第 2、3、4 行代码，每行都需要 1 个 unit_time的执行时间，第5、6行代码循环执行了 n 遍，需要2n * unit_time的执行时间，第7、8行代码循环执行了 n² 遍，所以需要2n² *unit_time 的执行时间。所以，整段代码总的执行时间 T(n)=(2n²+2n+3)*unit_time。
尽管不知道 unit_time 的具体值，但是通过这两段代码执行时间推导，可以得到一个非常重要的规律：
所有代码的执行时间 T(n)与每行代码的执行次数 n 成正比。
用大 O 复杂度表示法：

解释下这个公式：其中，T(n)我们已经讲过了，它表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小；f(n)表示每行代码执行的次数总和，因为这是一个公式，所以用 f(n)来表示。公式中 O，表示代码的执行时间T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

所以，第一个例子中的 T(n) = O(2n+2)，第二个例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)。这就是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

公式中低阶、常量、系数三部分并部左右增长趋势，所以可以忽略。用大 O 表示法表示上面两段代码：

   T(n) = O(n) ;  T(n) = O(n^2^)。

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码
   大 O 只是表示一种变化趋势，通常会忽略公式中低阶、常量、系数，只需要记录一个最大的量级就可以了，所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那段代码就可以了。
   看下面代码：

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

第2、3行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关，循环执行次数最多是4、5行，这两行代码被执行了 n 次
，所以总的时间复杂度就是 O(n)。
公式：T(n)=O(max(f(n),g(n)));

2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
   在分析如下代码：

int cal(int n) {
   int sum_1 = 0;
   int p = 1;
   for (; p < 100; ++p) {
     sum_1 = sum_1 + p;
   }

   int sum_2 = 0;
   int q = 1;
   for (; q < n; ++q) {
     sum_2 = sum_2 + q;
   }
 
   int sum_3 = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; 
     for (; j <= n; ++j) {
       sum_3 = sum_3 +  i * j;
     }
   }
 
   return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }

代码分为3部分，分别是 sum_1、sum_2、sum_3。
第一部分时间复杂多多少呢？这段代码执行了100次，是一个常量执行时间，跟 n 规模无关，可以忽略。
第二部分和第三部分的时间复杂度分别是 O(n)、O(n²)
综合这三段代码的时间复杂度，取其中量级最大部分，所以整段代码的复杂度就为 O(n²)。

3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度乘积
   看如下代码片段：

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
     ret = ret + f(i);
   } 
 } 
 
 int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
 }

落实到具体的代码上，我们可以吧乘法法则看成是嵌套循环，
f（）函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T(n)=O(n)，因为是嵌套函数，所以整个 cal()函数的时间复杂度就是 T(n)=O(n²)=T1(n) * T2(n)。

复杂度量级可以分为多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2ⁿ) 和 O(n!)。
对于多项式量级，随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用统一呈多项式规律增长；而对于非多项式量级，随着数据规模的增长，其时间复杂度会急剧增长，执行时间无限增加；
下面主要来看看几种常见的多项式时间复杂度：

一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

最难分析的是对数阶时间复杂度，这里通过一个例子来说明一下。

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

根据我们前面讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。
从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：

所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了，我就不多说了。x=log₂n，所以，这段代码的时间复杂度就是O(log₂n)。
把代码稍微再改一下，你看看这段代码的时间复杂度是多少？

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 3;
 }

按照刚才的思路，很简单就能看出来，这段代码的时间复杂度 O(log₃n)。
实际上，不管是以2为底、以3为底，还是以10为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O（logn)。为什么呢？
我们知道，对数之间是可以互相转换的：

log3n 就等于 log₃2 * log₂n，所以 O ( log₃n) = O(C * log₂n)，其中
C=log₃2 是一个常量。

基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

如果你理解了前面讲的 O(logn)，那 O(nlogn)就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗？如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度，代码的复杂度由两个数据的规模来决定。比如：

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个未知的数据规模，其大小关系也无法确定，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

多项式阶：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用，按照多项式的比例增长。包括，
O(1)（常数阶）、O(logn)（对数阶）、O(n)（线性阶）、O(nlogn)（线性对数阶）、O(n²)（平方阶）、O(n³)（立方阶）
非多项式阶：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用暴增，这类算法性能极差。包括，
O(2ⁿ)（指数阶）、O(n!)（阶乘阶）

相比起时间复杂度分析，空间复杂度分析方法学起来就非常简单了。

这里也举一个例子进行说明：

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

这里第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，其余代码所占空间都是可以忽略的，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n^2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶空间复杂度平时都用不到，相比起来，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。

复杂度包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n² )。