一、斐波那契数列

由于斐波纳挈数列是以兔子的繁殖引入的，因此也叫“兔子数列”。它指的是这样一个数列：0,1,1,2,3,5,8,13......从这组数可以很明显看出这样一个规律：从第三个数开始，后边一个数一定是在其之前两个数的和。在数学上，斐波纳挈数列可以以这样的公式表示：F(0) = 0 F(1) = 1 F(n) = F(n-1) + F(n-2),(n>=2)

二、斐波纳挈数列的实现

既然该数列已经有这样一个规律：F(n) = F(n-1) + F(n-2)；那么我们很容易就能想到用递归的方法，这样写出来的代码比较简洁

long long Fib1(long long num)
{
	assert(num >= 0);

	//递归
	if ((num == 1) || (num == 0))
	{
		return num;
	}
	return Fib1(num-1)+Fib1(num-2);
}

long long Fib1(long long num)
{
	assert(num >= 0);

	//递归
	return num<2 ? num:(Fib1(num-1)+Fib1(num-2));
}

这样的递归算法虽然只有简单的几行，但是效率却很低。为什么呢？我们可以分析其递归调用的时间复杂度：

时间复杂度 ----- O(2^N)

由于使用递归时，其执行步骤是：要得到后一个数之前必须先计算出之前的两个数，即在每个递归调用时都会触发另外两个递归调用，例如：要得到F(10)之前得先得到F(9)、F(8)，那么得到F(9)之前得先得到F(8)、F(7)......如此递归下去

从上图我们可以看出，这样的计算是以 2 的次方在增长的。除此之外，我们也可以看到，F(8)和F(7)的值都被多次计算，如果递归的深度越深，那么F(8)和F(7)的值会被计算更多次，但是这样计算的结果都是一样的，除了其中之一外，其余的都是浪费，可想而知，这样的开销是非常恐怖的！

所以，如果在时间复杂度和空间复杂度都有要求的话，我们可以用以下两种非递归算法来实现：

@@：时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(N)

创建一个数组，每次将前两个数相加后直接赋给后一个数。这样的话，有N个数就创建一个包含N个数的一维数组，所以空间复杂度为O(N)；由于只需从头向尾遍历一边，时间复杂度为O(N)

long long* Fib2(long long num)
{
	assert(num >= 0);
	//非递归
	long long* array = new long long[num+1];
	array[0] = 0;
	array[1] = 1;
	for (int i=2; i<=num; i++)
	{
		array[i] = array[i-1] + array[i-2];
	}
	return array;
}

@@：时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)

借助两个变量 first 和 second ，每次将 first 和 second 相加后赋给 third ，再将 second 赋给 first ，third 赋给 second，如此循环。

long long Fib3(long long num)
{
	assert(num >= 0);
	long long first = 0;
	long long second = 1;
	long long third = 0;
	for(int i=2; i<=num; i++)
	{
		third = first + second;
		first = second;
		second = third;
	}
	return third;
}