最大连续子数列和一道很经典的算法问题，给定一个数列，其中可能有正数也可能有负数，我们的任务是找出其中连续的一个子数列（不允许空序列），使它们的和尽可能大。我们一起用多种方式，逐步优化解决这个问题。

###暴力方法
求出所有可能连续子列的和，时间复杂度O(N^3)

int MaxSubSequm1(int A[], int N)
{
    int ThisSum, MaxSum = 0;
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < N; i++)  {  // i 是子列左端的位置
        for (j = i; j < N; j++){ //j 是子列右端的位置
            ThisSum = 0;               //*
            for (k = i; k <= j; k++)   //*
                ThisSum += A[k];       //*
            if (ThisSum>MaxSum)  // 如果刚得到的子列和更大
                MaxSum = ThisSum; // 更新结果

        }

    }// 循环结束
    return MaxSum;   
}

###一个简单的优化
很显然上面的算法中，在计算子列和时，可以利用前一步计算和的结果，不需要每次从头累加。时间复杂度O(N^2)。

int MaxSubSequm1(int A[], int N)
{
    int ThisSum, MaxSum = 0;
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < N; i++)  {  // i 是子列左端的位置
        for (j = i; j < N; j++){ //j 是子列右端的位置
            ThisSum +=A[j];               //*
                  // 对于相同i ,的不同j ,只要在j-1次循环的基础上累加1 项即可

            if (ThisSum>MaxSum)  // 如果刚得到的子列和更大
                MaxSum = ThisSum; // 更新结果

        }

    }
    return MaxSum;   
}

1. 将问题一分为二，缩小问题规模，递归求解。
2. 此处求解过程中要从中间基准点开始，扫描求出跨界的最大连续子列和，然后和左右边的解比较求出最终的结果。
3. 时间复杂度O(N*logN)

int Max3( int A, int B, int C )
    { /* 返回3个整数中的最大值 */
        return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;
    }

    int DivideAndConquer( int List[], int left, int right )
    { /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */
        int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */
        int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/

        int LeftBorderSum, RightBorderSum;
        int center, i;

        if( left == right )  { /* 递归的终止条件，子列只有1个数字 */
            if( List[left] > 0 )  return List[left];
            else return 0;
        }

        /* 下面是"分"的过程 */
        center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分点 */
        /* 递归求得两边子列的最大和 */
        MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center );
        MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center+1, right );

        /* 下面求跨分界线的最大子列和 */
        MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
        for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */
            LeftBorderSum += List[i];
            if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
                MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
        } /* 左边扫描结束 */

        MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
        for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */
            RightBorderSum += List[i];
            if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
                MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
        } /* 右边扫描结束 */

        /* 下面返回"治"的结果 */
        return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );
    }

    int MaxSubseqSum3( int List[], int N )
    { /* 保持与前2种算法相同的函数接口 */
        return DivideAndConquer( List, 0, N-1 );
    }

下面是一个过程演示图：

这里最大的连续子列和是11。

我们可以通过抛弃负子列，保证最大子列和递增。当扫描一遍，最大子列和不再递增时，当前的最大子列和即为我们的解。这是最优算法，时间复杂度O(N)。

int MaxSubseqSum4(int A[], int N)
{
//        int ThisSum, MaxSum;
//        int i;
//        ThisSum = MaxSum = 0;
//        for (i = 0; i < N; i++){
//            ThisSum += A[i];//向右累加
//            if (ThisSum>MaxSum)
//                MaxSum = ThisSum; // 发现更大和则更新当前结果
//            else if (ThisSum < 0)  // 如果当前子列和为负数
//                ThisSum = 0; // 则不可能使后面部分和增大，抛弃之
//        }
//        return MaxSum;
    int MaxSum = A[0];
    int ThisSum = A[0];
    for (int i=1;i < N;i++){
        if (ThisSum<0) 
            ThisSum= A[i];
        else if (ThisSum>=0) 
            ThisSum+=A[i];
        
        if (ThisSum > MaxSum) MaxSum=ThisSum;
    }
    return MaxSum;

}