以下通过例题结合算法做详解

现有如下关系模式：
其中： Teacher(Tno，Tname，Tel，Department，Bid，Bno, Bname，BorrowDate，Rdate)。
Tno一教师编号， Tname一教师姓名， Tel一电话， Department一所在部门，
Bid一图书编码， Bno–图书索书码 Bname一书名， BorrowDate一借书日期， Rdate一还书日期
该关系模式的属性之间具有通常的语义，例如：
教师编号是惟一的，可确定教师姓名及教师的相关信息，
图书索书码可确定书名。图书馆同一索书码的图书可能购买多本，每一本都有唯一的图书编码，当然图书编码也可以决定书名；
教师每次借阅某本图书都有一个具体的借书日期和还书日期，教师还可多次借阅同一本图书，但借书日期不同。

1.根据给出的语义，分析该关系模式的函数依赖，
2. 将该函数依赖集合最小化
3. 运用闭包算法找出所有的候选码。
4. 该关系模式最高满足第几范式?并说明理由。
5. 模式分解要求达到3NF。
6. 验证分解的无损
7. 验证分解的保函

1.根据给出的语义，分析该关系模式的函数依赖

F={Tno->Tname,  Tno->Tel,  Tno->Department,  Bno->Bname,  Bid->Bname,  Bid->Bno,  (Tno,Bid,BorrowDate)->Rdate}

这边需要注意的是最后一个函数依赖，一不小心就会想当然的错写成：
(Tno，Bid)->BorrowDate,Rdate
由于教师可以多次借阅同一本书，因此(Tno，Bid)不能唯一确定BorrowDate和Rdate。但只要人、书、借书日期确定了，就可以知道此书的还书日期了。

2. 将该函数依赖集合最小化
这题可以明显看出函数依赖的传递性，因此去除冗余的函数依赖：Bid->Bname
最严谨的步骤是利用分解规则，假设冗余求闭包的方法来最小化函数依赖集合。这题比较简单不是重点讲述的题目，因此不做赘述。

最小化结果如下：
F={Tno->Tname, Tno->Tel, Tno->Department, Bno->Bname, Bid->Bno, (Tno,Bid,BorrowDate)->Rdate}

3. 运用闭包算法找出所有的候选码。
(Tno,Bid,BorrowDate)F+
X(0)=Tno,Bid,BorrowDate
X(1)=Tno,Bid,BorrowDate,Tname,Tel,Department,Bno,Bname,Rdata
∵X(1)=U
∴候选码：(Tno,Bid,BorrowDate)

4. 该关系模式最高满足第几范式?并说明理由。
最高满足1NF，因为该关系模式中存在非主属性对码的部分函数依赖。
如：Tno->Tname等

该题也存在非主属性对码的传递函数依赖，只不过存在非主属性对码的部分函数依赖已经不满足2NF的要求了，更谈不上判断3NF

5. 模式分解要求达到3NF。
这里给一个分解算法：
转换为3NF既有无损连接又保持函数依赖的分解 算法如下：

1. 对函数依赖集进行极小化处理。
2. 找出不在F中出现的属性，将这样的属性构成一个关系模式。（此情况较少见）
3. 对F按具有相同左部的原则分组，每一组函数依赖所有涉及的全部属性形成一个属性集，分解成一个关系模式。
4. 对于R的码，形成一个关系模式。
5. 根据步骤3、4分解的关系模式，消除多余的关系模式

根据算法：
1.求最小函数依赖集：
F={Tno->Tname, Tno->Tel, Tno->Department, Bno->Bname, Bid->Bno, (Tno,Bid,BorrowDate)->Rdate}

2.由于R中的所有属性均在F中都出现，所以转下一步。

3_1.对F按具有相同左部的原则分组：
F={Tno->(Tname,Tel,Department), Bid->Bno, Bno->Bname, (Tno,Bid,BorrowDate)->Rdate}
3_2.每一组函数依赖所有涉及的全部属性形成一个属性集，分解成一个关系模式:
R1=(Tno,Tname,Tel,Department)
R2=(Bid,Bno)
R3=(Bno,Bname)
R4=(Tno,Bid,BorrowDate,Rdate)

4.对于R的码形成一个关系模式:
R5=(Tno,Bid,BorrowDate)

5.消除多余的关系模式:
由于R5包含于R4中，因此R5冗余，删除R5

所以最终答案为：
R1=(Tno,Tname,Tel,Department)
R2=(Bid,Bno)
R3=(Bno,Bname)
R4=(Tno,Bid,BorrowDate,Rdate)

注：这边模式分解时，需把关系模式R(Bid,Bno)写在关系模式R(Bno,Bname)前面，否则在下一问验证分解无损的算法中，会出错。两个关系模式中隐含传递性，按照传递的顺序写关系模式，在下一题的修改表时才能修改完整。

6.验证分解的无损
先看算法：

算法比较抽象，我们用实例结合表格做步步分解：
ρ={R1<U1,F1>,R2<U2,F2>,R3<U3,F3>,R4<U4,F4>}是R<U,F>的一个分解，U={A1,…,An}，F={FD1,FD2,FD3,FD4}，设F是一极小依赖集，记FDi为Xi->Ali。

（1）建立n列k行的表，若属性Aj属于Ui，则在列i行交叉处填上aji，否则填上bij：

（2）对每一个FDi做下列操作：找到Xi所对应的列中具有相同符号的那些行，考察这些行中li列的元素。若其中有ali，则全部改为ali；否则全部改为bmli。其中m是这些行的行号最小值。

①

②

③

④

最后一步，对每一行进行扫描：

补充理解，其他博客看到的，大概是这个道理：

7. 验证分解的保函
这个判断方法其实很简单，对于这道题来说，有
属性集U={Tno,Tname,Tel,Department,Bid,Bno,Bname,BorrowDate,Rdate}，
F={Tno->Tname,  Tno->Tel,  Tno->Department,  Bno->Bname,  Bid->Bname,  Bid->Bno,  (Tno,Bid,BorrowDate)->Rdate}
有这样的分解：
R1=(Tno,Tname,Tel,Department) ，F1={Tno->Tname,  Tno->Tel,  Tno->Department}
R2=(Bid,Bno)，F2={Bid->Bno}
R3=(Bno,Bname)，F3={Bno->Bname}
R4=(Tno,Bid,BorrowDate,Rdate)，F4={(Tno,Bid,BorrowDate)->Rdate}

我们可以直接推出函数依赖有：Tno->Tname,Tno->Tel,Tno->Department,Bid->Bname,Bno->Bname,(Tno,Bid,BorrowDate)->Rdate
通过R2、R3中函数依赖的传递性推出：Bid->Bname

即：F’ = {Tno->Tname,  Tno->Tel,  Tno->Department,  Bno->Bname,  Bid->Bname,  Bid->Bno,  (Tno,Bid,BorrowDate)->Rdate} = F

所以该分解不丢失函数依赖，分解保持函数依赖的特性。

以上，若存在缺陷或错误，亟盼读者不吝指正