Bloom Filter 算法

Bloom filter是由Burton Bloom 在1970年提出的，其后在P2P上得到了广泛的应用。Bloom filter 算法可用来查询某一数据是否在某一数据集合中。其优点是查询效率高、可节省空间，但其缺点是会存在一定的错误。因此Bloom filter 算法只能应用于那些允许有一定错误的场合。可使用Bloom filter 算法的场合包括字典软件、分布式缓存、P2P网络和资源路由等等。

使用Bloom Filter我们可以判断一个元素是否在某一个集合中。如果这个集合是使用线性结构存储的话，其查找的时间复杂度是O(n)；使用像二叉树或B-tree这样的树形结构存储的话其查找的时间复杂度是O(logn)；而使用Bloom Filter在可以容忍一定错误率的情况下，其时间复杂度是O(1)。因此，与传统的权衡空间或时间的算法不同，Bloom Filter 极其巧妙，通过引入一定的错误率来换取时间和空间，在某些应用大大提高了性能。

Bloom Filter 算法应用

使用Bloom Filter算法查找某个元素是否属于某个集合是常数时间，并且Bloom Filter使用的是位数组，大大减少了空间。虽然有一定的错误率，但对于那些允许有一定错误的场合则十分有效。

使用Bloom Filter还可以进行垃圾邮件过滤。由于垃圾邮件的数量是非常巨大的，如果将所有的垃圾邮件的地址都存到数据库再进行垃圾邮件过滤，则其性能会非常低下。此时如果通过垃圾邮件的地址创建Bloom Filter，并把Bloom Filter的位数组放到内存中，那么在进行垃圾邮件过滤时就非常高效了。

在HTTP缓存服务器中，可以使用Bloom Filter来加快判断Url是否在代理服务器的缓存中。在代理服务器中，首先用缓存页面的Url通过哈希算法创建一个Bloom Filter的位数组。如果有多个代理服务器，还可以将自己的位数组传送给其他代理服务器，以加快缓存查询速度。当有HTTP请求来时，就先在代理服务器中查看是否有此Url的缓存，如果没有，则查看是否在其它代理服务器中，再没有的话才会去主服务器提取页面。可以看出，使用Bloom Filter查询某Url是否在缓存中非常快，如果出现错误的情况则最多到主服务器提取页面。而且由于Bloom Filter大大减少了空间的使用，使其在网络上传输更加快速。

在web爬虫中，也可使用Bloom Filter。当web爬虫处理了一个页面时，首先会通过Bloom Filter判断这个页面是否已经处理过，如果没处理过就对其进行处理并将其加到Bloom Filter中。在web爬虫如果出现误判，则最多对同一个Url多处理几次，并不影响web爬虫的性能。通过Bloom Filter反而大大提高了web爬虫的性能。

总而言之，Bloom Filter近些年来得到了广泛的应用，通过使用Bloom Filter可以加快对海量数据的查询，提高应用的性能。

Bloom Filter算法思想

Bloom Filter算法就是对于有n个元素的集合S={x1, x2,……,xn}，我们用k个哈希函数(h1,h2,……,hn)，分别将S中的每个元素映射到一个m位的位数组(b_m-1b_m-2……b₁b₀)中。该位数组在初始化时全部置为0，每当用哈希函数映射到该位时则将该位置为1，对于已经置为1的位则不在重复置1。

例如，将S={x1,x2,x3}这个集合用3个哈希函数映射到一个14位的位数组中，如图所示：

可以看出，如果要查找一个元素是否在这个集合中，则只要将该元素进行k次哈希，如果其对应的位全部为1的话则说明该元素在这个集合中。否则，只要有其中一位为0，则说明该元素不在这个集合中。如图所示，x2在集合中，而x4不在集合中。

Bloom Filter会产生错误也就是因为对某个元素进行k次哈希后对应的位全部为1，因此错误地将这个元素判定为在这个集合中，但实际上这个元素并不在这个集合中。如图所示，x5实际并不是这个集合的元素：

要将一个元素加入这个集合很容易，只要将这个元素进行k次哈希后将对应的位置1就行了。但如果要从这个集合中删除一个元素，那么使用上面的位数组就不行了。因为如果只是简单地将k次哈希后对应的位置0，而其它在这个集合中的元素也可能会映射到该位，这样这个集合就出错了。因此，对于要进行删除的情况，则应该使用Bloom Filter的变体算法：计数Bloom Filter。
计数Bloom Filter位数组的每个元素并不是只有1位，而可能是2位或更多位(视情况而定)。如图就是使用2位位数组的例子：

在这种情况下，如果要删除一个元素，则只要将对应位的计数减1就行了。删除了x2之后如图所示：

Bloom Filter算法分析

现在来分析一下标准的Bloom Filter的错误率。刚开始时，m位的位数组初化为0，进行一次哈希并设某一位为1后位数组中某一位为0的概率为：(m-1)/m，而当对n个元素进行k次哈希后位数组中某一位为0的概率为：
p = ((m-1)/m)^kn = (1 – 1/m)^kn,

一个不在集合中的元素进行k次哈希后对应的位都为1，因此，Bloom Filter的错误率为：
f = (1 – (1 - 1/m)^kn)^{k ,}

由于

因此：
p = (1 – 1/m)^kn = e^-kn/m
即 k = -m·ln(p)/n,
f = (1 – e^-kn/m)^k
= exp(ln(1-e^-kn/m)^k)
= exp(kln(1-e^-kn/m))
= exp(-m·ln(p)·ln(1-p)/n)

因为exp(x)是一个递增函数，为了使错误率f最小，那么-m·ln(p)·ln(1-p)/n就应该取最小值。根据对称性法则可以看出，当p = 1/2时-m·ln(p)·ln(1-p)/n取得最小值，即k = -m·ln(p)/n = m·ln2 / n。

所以当哈希函数的个数k = m·ln2 / n时，可以使得错误率最小。又因为p=1/2是对n个元素进行k次哈希后位数组中某一位为0的概率，此时位数组中0和1各占一半。即当让位数组有一半是空的时，可以使错误率最低。